Considerando a função
.
Determinar o(s) ponto(s) de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Determinar o(s) ponto(s) de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu a função
e pediu para encontrar os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar o conceito de segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
, que nos dá a inclinação da função em cada ponto. A derivada de
é:
Isso foi feito aplicando a regra de derivação para potências de
.
Passo 3
Agora, precisamos da segunda derivada, que nos dirá sobre a concavidade. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Isso nos mostra como a inclinação da função está mudando.
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe. Vamos resolver:
Então,
é o candidato a ponto de inflexão.
Passo 5
Para confirmar que é um ponto de inflexão, verificamos se a concavidade realmente muda ao redor desse ponto. Escolhemos valores de
menores e maiores que
.
- Se
, por exemplo :
Isso indica concavidade para cima.
- Se
, por exemplo :
Isso indica concavidade para baixo.
Passo 6
Como a concavidade muda de cima para baixo passando por
, confirmamos que
é realmente um ponto de inflexão.
Resposta
A função
possui um ponto de inflexão em
.
- Para
, a função é côncava para cima. - Para
, a função é côncava para baixo.
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,
para
.
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.
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.
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onde
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).
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?
(a) Qual é o domínio de