Considerando a função f(x) = -x^3/3 + 3/2 x^2 - 2 x + 5/6.
Determinar o(s) ponto(s) de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a função e pediu para encontrar os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar o conceito de segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função , que nos dá a inclinação da função em cada ponto. A derivada de é:
Isso foi feito aplicando a regra de derivação para potências de .

Passo 3

Agora, precisamos da segunda derivada, que nos dirá sobre a concavidade. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Isso nos mostra como a inclinação da função está mudando.

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe. Vamos resolver:
Então, é o candidato a ponto de inflexão.

Passo 5

Para confirmar que é um ponto de inflexão, verificamos se a concavidade realmente muda ao redor desse ponto. Escolhemos valores de menores e maiores que .
  • Se , por exemplo :
Isso indica concavidade para cima.
  • Se , por exemplo :
Isso indica concavidade para baixo.

Passo 6

Como a concavidade muda de cima para baixo passando por , confirmamos que é realmente um ponto de inflexão.

Resposta

A função possui um ponto de inflexão em .
  • Para , a função é côncava para cima.
  • Para , a função é côncava para baixo.

Exercícios relacionados

Determine o comprimento de arco da hélice gerada por r(t) = (cos(t), t), sen(t) para t in [0, 5*pi].
(a) Determine a reta que passar pelo ponto P0 = (2, 3) e é paralela ao vetor v = (1, 2).
Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva r = 2(2 - sen(2θ)^(1/2)).
A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa à uma distância r do centro do planeta Terra é dada por
F(r) = { GM r R^(-3), se r < R; G M / r^2, se r ≥ R }
onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional ( G ≈ 6,67 * 10^(-11) m^3 kg^(-1) s^(-2) ).
(a) Qual é o domínio de F ? Podemos dizer que F é uma função contínua de r ?