A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa à uma distância r do centro do planeta Terra é dada por
F(r) = { GM r R^(-3), se r < R; G M / r^2, se r ≥ R }
onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional ( G ≈ 6,67 * 10^(-11) m^3 kg^(-1) s^(-2) ).
(a) Qual é o domínio de F ? Podemos dizer que F é uma função contínua de r ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você me mandou. A gente tem uma função que descreve a força gravitacional que a Terra exerce sobre uma massa unitária a uma distância do centro do planeta. O exercício pede para a gente descobrir qual é o domínio dessa função e se ela é contínua em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções matemáticas e o conceito de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. Basicamente, o domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando a definição da função:
Aqui, é a constante gravitacional, é a massa da Terra, e é o raio da Terra.
Para , a função está definida porque estamos falando de uma distância dentro do raio da Terra. Para , também está definida porque a distância é igual ou maior que o raio da Terra. O único ponto a considerar é . Se , a primeira parte da função dá , o que faz sentido fisicamente, já que no centro da Terra a força gravitacional se anula.
Portanto, a função está definida para todo .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua se não tem “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. No nosso caso, a função tem duas expressões diferentes dependendo de ser menor que ou não.
Precisamos verificar se, no ponto onde as duas expressões se encontram ( ), a função continua sem interrupções. Vamos calcular os limites das duas partes da função quando se aproxima de :
  • Para :
  • Para :
Como os valores se igualam em , não há salto ou buraco na função. Assim, é contínua nesse ponto e, por consequência, em todo o seu domínio.

Resposta

O domínio de é todo número real não negativo ( ). Além disso, é uma função contínua em relação a .

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