A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa à uma distância
do centro do planeta Terra é dada por
onde
é a massa da Terra,
é seu raio e
é a constante gravitacional (
).
(a) Qual é o domínio de
? Podemos dizer que
é uma função contínua de
?
(a) Qual é o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você me mandou. A gente tem uma função
que descreve a força gravitacional que a Terra exerce sobre uma massa unitária a uma distância
do centro do planeta. O exercício pede para a gente descobrir qual é o domínio dessa função e se ela é contínua em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções matemáticas e o conceito de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. Basicamente, o domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função
está definida. Olhando a definição da função:
Aqui,
é a constante gravitacional,
é a massa da Terra, e
é o raio da Terra.
Para
, a função está definida porque estamos falando de uma distância dentro do raio da Terra. Para
, também está definida porque a distância é igual ou maior que o raio da Terra. O único ponto a considerar é
. Se
, a primeira parte da função dá
, o que faz sentido fisicamente, já que no centro da Terra a força gravitacional se anula.
Portanto, a função
está definida para todo
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua se não tem “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. No nosso caso, a função
tem duas expressões diferentes dependendo de
ser menor que
ou não.
Precisamos verificar se, no ponto onde as duas expressões se encontram (
), a função continua sem interrupções. Vamos calcular os limites das duas partes da função quando
se aproxima de
:
-
Para
: -
Para
:
Como os valores se igualam em
, não há salto ou buraco na função. Assim,
é contínua nesse ponto e, por consequência, em todo o seu domínio.
Resposta
O domínio de
é todo número real não negativo (
). Além disso,
é uma função contínua em relação a
.
Exercícios relacionados
Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva
.
Considerando a função
.
Determinar o(s) ponto(s) de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Determinar o(s) ponto(s) de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Desenhe a superfície de nível ou implícita
correspondente a
Determine o domínio das seguintes funções vetoriais reais.
(a) ;
(a)