Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva r = 2(2 - sen(2θ)^(1/2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região no primeiro quadrante cortada pela curva . Vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares para resolver isso. Precisaremos entender como calcular áreas em coordenadas polares e identificar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula geral para a área delimitada por uma curva entre os ângulos e é:
Nesse caso, nossa função é , então vamos precisar elevar essa expressão ao quadrado para usar na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular :
Isso simplifica a nossa expressão para a área:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração e para o primeiro quadrante. No primeiro quadrante, varia de 0 a . Vamos verificar se a curva está bem definida nesse intervalo.

Passo 5

Observando a função , precisamos garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa:
Sabemos que varia entre -1 e 1, então:
Portanto, a expressão é sempre positiva no intervalo considerado, e podemos proceder com e .

Passo 6

Vamos agora integrar:
Vamos separar a integral:

Passo 7

Calculando cada parte:
E

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da área:

Resposta

A área da região no primeiro quadrante cortada pela curva é unidades de área.

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