Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região no primeiro quadrante cortada pela curva . Vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares para resolver isso. Precisaremos entender como calcular áreas em coordenadas polares e identificar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula geral para a área delimitada por uma curva entre os ângulos e é:
Nesse caso, nossa função é , então vamos precisar elevar essa expressão ao quadrado para usar na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular :
Isso simplifica a nossa expressão para a área:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração e para o primeiro quadrante. No primeiro quadrante, varia de 0 a . Vamos verificar se a curva está bem definida nesse intervalo.
Passo 5
Observando a função , precisamos garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa:
Sabemos que varia entre -1 e 1, então:
Portanto, a expressão é sempre positiva no intervalo considerado, e podemos proceder com e .
Passo 6
Vamos agora integrar:
Vamos separar a integral:
Passo 7
Calculando cada parte:
E
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da área:
Resposta
A área da região no primeiro quadrante cortada pela curva é unidades de área.