Considerando a função de onda
no intervalo
,
a) Escreva a condição de normalização para
e
.
b) Normalize
para
e
.
c) Encontre a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região
.
a) Escreva a condição de normalização para
b) Normalize
c) Encontre a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções de onda na mecânica quântica. A gente tem uma função de onda dada por:
O que precisamos fazer aqui é:
a) Escrever a condição de normalização para
e
.
b) Normalizar
assumindo
e
,
.
c) Encontrar a probabilidade de que a partícula esteja na região
.
Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a condição de normalização. Em mecânica quântica, a função de onda
deve ser normalizada para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Matematicamente, isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Como a função de onda é complexa, o módulo ao quadrado é:
Como
e seu complexo conjugado se cancelam, temos:
Passo 4
Simplificando a condição de normalização, temos:
Essa é a condição que relaciona
e
.
Passo 5
Agora, para a parte b), vamos normalizar
assumindo
,
e
.
Substituindo esses valores na condição de normalização:
Passo 6
Vamos calcular as integrais separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
Para
,
:
Para
,
:
Passo 7
Substituindo de volta na condição de normalização:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Finalmente, para a parte c), queremos a probabilidade de encontrar a partícula na região
. Isso significa calcular:
Usando
normalizada com
.
Passo 10
Como a função é par (simétrica em relação a
), podemos calcular a metade da probabilidade total:
Resposta
a) A condição de normalização é:
b) Normalizando
com
,
e
.
c) A probabilidade de encontrar a partícula na região
é
ou 50%.
Exercícios relacionados
Considerando a função de onda
encontre a constante
tal que
seja normalizado. As constantes
e
são reais.
Normalize a função de onda
Seja
. Encontre a constante
normalizando a função de onda.
Seja a função de onda
encontre o valor esperado de
.