Considerando a função de onda
Psi(x, t)=(A1 e^-x^2 / a+A2 e^-x^2 / b) e^-i c t
no intervalo -infty,
a) Escreva a condição de normalização para A1 e A2.
b) Normalize Psi(x) para A1=A2 e a=32, b=8.
c) Encontre a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções de onda na mecânica quântica. A gente tem uma função de onda dada por:
Psi(x, t)=(A1 e^-x^2 / a+A2 e^-x^2 / b) e^-i c t
O que precisamos fazer aqui é:
a) Escrever a condição de normalização para e .
b) Normalizar assumindo e , .
c) Encontrar a probabilidade de que a partícula esteja na região .
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a condição de normalização. Em mecânica quântica, a função de onda integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1 deve ser normalizada para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Matematicamente, isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos calcular |Psi(x, t)|^2 = (A1 e^-x^2 / a + A2 e^-x^2 / b) (A1 e^-x^2 / a + A2 e^-x^2 / b)^* . Como a função de onda é complexa, o módulo ao quadrado é:
|Psi(x, t)|^2 = A1^2 e^-2x^2 / a + A2^2 e^-2x^2 / b + 2A1A2 e^-(x^2/a + x^2/b)
Como e seu complexo conjugado se cancelam, temos:

Passo 4

Simplificando a condição de normalização, temos:
integral-infty^infty ( A1^2 e^-2x^2/a + A2^2 e^-2x^2/b + 2A1A2 e^-x^2(1/a + 1/b) ) dx = 1
Essa é a condição que relaciona e .

Passo 5

Agora, para a parte b), vamos normalizar integral-infty^infty ( 2A^2 e^-x^2/16 + 2A^2 e^-x^2/4 ) dx = 1 assumindo , e .
Substituindo esses valores na condição de normalização:

Passo 6

Vamos calcular as integrais separadamente. Sabemos que:
integral-infty^infty e^-k x^2 dx = raizpik
Aplicando isso:
Para integral-infty^infty e^-x^2/16 dx = raiz16 pi = 4raizpi , integral-infty^infty e^-x^2/4 dx = raiz4 pi = 2raizpi :
Para , :

Passo 7

Substituindo de volta na condição de normalização:
2A^2 cdot 4raizpi + 2A^2 cdot 2raizpi = 1
Simplificando:
8A^2raizpi + 4A^2raizpi = 1 12A^2raizpi = 1

Passo 8

Resolvendo para A^2 = 112raizpi A = raiz112raizpi = 12raiz3pi^1/4 :

Passo 9

Finalmente, para a parte c), queremos a probabilidade de encontrar a partícula na região P = integral0^32 |Psi(x)|^2 dx . Isso significa calcular:
Usando normalizada com .

Passo 10

Como a função é par (simétrica em relação a P = 12 ), podemos calcular a metade da probabilidade total:

Resposta

a) A condição de normalização é:
integral-infty^infty (A1 e^-x^2/a + A2 e^-x^2/b)^2 dx = 1
b) Normalizando com , e .
c) A probabilidade de encontrar a partícula na região é ou 50%.

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