Considerando a função de onda
Psi(x)=A e^-lambda(x-x0)^2
encontre a constante A tal que Psi(x) seja normalizado. As constantes lambda e x0 são reais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda dada por
Psi(x) = A e^-lambda (x - x0)^2
e precisamos encontrar a constante para que essa função seja normalizada. Normalizar uma função de onda significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integral da função ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de normalização. A normalização requer que:
integral-infty^infty |Psi(x)|^2 dx = 1
Isso garante que a probabilidade total seja 1.

Passo 3

Vamos calcular |Psi(x)|^2 = Psi(x)^2 = A^2 e^-2lambda (x - x0)^2 . Como é uma função real, temos:

Passo 4

Agora, substituímos A^2 integral-infty^infty e^-2lambda (x - x0)^2 dx = 1 na condição de normalização:
Note que temos uma integral da forma , que é uma integral gaussiana.

Passo 5

Sabemos que:
integral-infty^infty e^-a x^2 dx = raizpia
No nosso caso, e estamos integrando em relação a , mas como a integral é sobre todo o eixo real, o não afeta o resultado.

Passo 6

Aplicando a fórmula da integral gaussiana:
integral-infty^infty e^-2lambda (x - x0)^2 dx = raizpi2lambda

Passo 7

Substituímos esse resultado na condição de normalização:
A^2 raizpi2lambda = 1

Passo 8

Agora, isolamos A^2 = raiz2lambdapi :

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar A = ( 2lambdapi )^14 :

Resposta

A constante de normalização é
A = ( 2lambdapi )^14

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