Seja a função de onda
Psi(x)=(2 api)^1 / 4 e^-a x^2
encontre o valor esperado de x^n.

Passo 1

Então, a gente tem uma função de onda dada por
Psi(x) = (2 api)^1 / 4 e^-a x^2
O que a gente precisa encontrar é o valor esperado de x^n. Básico, né? Mas não se preocupa, vamos por partes! Para resolver isso, vamos precisar entender o que é valor esperado e como calcular integrais envolvendo funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado de uma grandeza física, como x^n, em mecânica quântica é dado pela integral:
lang<= x^n rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x) , x^n , Psi(x) , dx
Aqui, Psi^*(x) é o conjugado complexo de Psi(x). No nosso caso, Psi(x) é real, então Psi^*(x) = Psi(x).

Passo 3

Substituindo Psi(x) na fórmula, temos:
lang<= x^n rang<= = integral-infty^infty (2 api)^1 / 4 e^-a x^2 cdot x^n cdot (2 api)^1 / 4 e^-a x^2 , dx
Isso simplifica para:
lang<= x^n rang<= = (2 api)^1 / 2 integral-infty^infty x^n e^-2 a x^2 , dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral:
integral-infty^infty x^n e^-2 a x^2 , dx
Isso depende se n é par ou ímpar. Se n for ímpar, a função x^n e^-2 a x^2 é ímpar e a integral será zero. Se n for par, a integral pode ser resolvida usando a fórmula da integral de Gaussian.

Passo 5

Assumindo que n é par, digamos n = 2k, onde k é um número inteiro, temos:
Aqui, integral-infty^infty x^2k e^-2 a x^2 , dx = (2k-1)!!(2 a)^k + 1/2 raizpi é o fatorial duplo de (2k-1)!!.

Passo 6

Usando essa fórmula, substituímos de volta na expressão do valor esperado:

Resposta

Portanto, o valor esperado de x^n para a função de onda dada é:
lang<= x^n rang<= = 0, & se n for ímpar (n-1)!!(2 a)^n/2, & se n for par í

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