Seja a função de onda
encontre o valor esperado de
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função de onda dada por
O que a gente precisa encontrar é o valor esperado de
. Básico, né? Mas não se preocupa, vamos por partes! Para resolver isso, vamos precisar entender o que é valor esperado e como calcular integrais envolvendo funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado de uma grandeza física, como
, em mecânica quântica é dado pela integral:
Aqui,
é o conjugado complexo de
. No nosso caso,
é real, então
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral:
Isso depende se
é par ou ímpar. Se
for ímpar, a função
é ímpar e a integral será zero. Se
for par, a integral pode ser resolvida usando a fórmula da integral de Gaussian.
Passo 5
Assumindo que
é par, digamos
, onde
é um número inteiro, temos:
Aqui,
é o fatorial duplo de
.
Passo 6
Usando essa fórmula, substituímos de volta na expressão do valor esperado:
Resposta
Portanto, o valor esperado de
para a função de onda dada é: