Encontre A e B para que
seja normalizada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de e de modo que a função seja normalizada. Isso está dentro do estudo de probabilidades ou funções de onda na física, onde a normalização garante que a área total sob a curva da função seja igual a 1. Para resolver, vamos precisar integrar a função no intervalo dado e igualar essa integral a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida em duas partes:
Isso significa que de 0 a , a função é constante igual a , e de a , ela varia linearmente com uma inclinação .

Passo 3

A normalização requer que a integral de de 0 a seja igual a 1. Vamos escrever isso matematicamente:
Como a função é definida em duas partes, vamos dividir a integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
Essa é a nossa equação principal. Porém, temos duas incógnitas: e . Precisamos de mais uma condição para resolver o sistema.

Passo 6

Como a função deve ser contínua em , vamos igualar os valores das duas partes da função nesse ponto:
Isso nos dá uma segunda equação que podemos usar para resolver e .

Passo 7

Agora, temos o sistema de equações:
Substituímos da primeira equação na segunda:
Simplificando:
Fatorando :
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 8

Resolvendo para :
Agora que temos , podemos encontrar usando a primeira equação :

Resposta

Os valores que normalizam a função são:

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para . Encontre a probabilidade de que .
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