Encontre A e B para que
Phi(x)=rrl A, & para & 0 <= x <= a B x, & para & a <= x <= b
seja normalizada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de e de modo que a função seja normalizada. Isso está dentro do estudo de probabilidades ou funções de onda na física, onde a normalização garante que a área total sob a curva da função seja igual a 1. Para resolver, vamos precisar integrar a função no intervalo dado e igualar essa integral a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função Phi(x) = A, & para 0 <= x <= a B x, & para a <= x <= b . Ela é definida em duas partes:
Isso significa que de 0 a , a função é constante igual a , e de a , ela varia linearmente com uma inclinação .

Passo 3

A normalização requer que a integral de integral0^b Phi(x) , dx = 1 de 0 a integral0^a A , dx + integrala^b Bx , dx = 1 seja igual a 1. Vamos escrever isso matematicamente:
Como a função é definida em duas partes, vamos dividir a integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^a A , dx = A cdot (a - 0) = A a
Segunda integral:
integrala^b Bx , dx = B cdot [ x^22 ]a^b = B ( b^22 - a^22 ) = B cdot b^2 - a^22

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
A a + B cdot b^2 - a^22 = 1
Essa é a nossa equação principal. Porém, temos duas incógnitas: e . Precisamos de mais uma condição para resolver o sistema.

Passo 6

Como a função A = B a deve ser contínua em , vamos igualar os valores das duas partes da função nesse ponto:
Isso nos dá uma segunda equação que podemos usar para resolver e .

Passo 7

Agora, temos o sistema de equações:
A = B a A a + B cdot b^2 - a^22 = 1
Substituímos B a cdot a + B cdot b^2 - a^22 = 1 da primeira equação na segunda:
B a^2 + B cdot b^2 - a^22 = 1
Simplificando:
B ( a^2 + b^2 - a^22 ) = 1
Fatorando B ( 2a^2 + b^2 - a^22 ) = 1 B ( a^2 + b^22 ) = 1 :
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 8

Resolvendo para B = 2a^2 + b^2 :
A = 2a^2 + b^2 cdot a = 2aa^2 + b^2
Agora que temos , podemos encontrar usando a primeira equação :

Resposta

Os valores que normalizam a função A = 2aa^2 + b^2 e B = 2a^2 + b^2 são:

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