Considerando a função f(x) = e^x tabelada abaixo:
x | 1.2 | 1.4 | 1.6 f(x) | 3.320 | 4.055 | 4.953
Calcule um limitante superior para o erro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e alguns valores dela em pontos específicos: , e . A nossa missão aqui é calcular um limitante superior para o erro, ou seja, descobrir o quanto podemos errar ao aproximar a função nesses pontos. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas e estimação de erros em aproximações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando aproximamos uma função por uma reta ou por um polinômio, sempre há um erro associado a essa aproximação. Nosso objetivo é encontrar um limite máximo para esse erro, ou seja, o maior valor que esse erro pode alcançar.

Passo 3

Vamos considerar que estamos utilizando a interpolação linear entre os pontos dados. A fórmula do erro em uma interpolação linear é dada por:
Aqui, está entre e , que são os pontos de interpolação.

Passo 4

Para encontrar o limitante superior do erro, precisamos determinar o valor máximo da segunda derivada da função no intervalo considerado. A segunda derivada de é:
Como a função exponencial cresce continuamente, o valor máximo de no intervalo de a ocorre em .

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do erro com , e considerando o intervalo , onde está no meio, por exemplo, .
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Calculando os valores numéricos:

Passo 8

Como estamos falando de um limitante superior para o erro, consideramos o valor absoluto:

Resposta

Um limitante superior para o erro é aproximadamente .

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