Considerando a função
tabelada abaixo:
Calcule um limitante superior para o erro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
e alguns valores dela em pontos específicos:
,
e
. A nossa missão aqui é calcular um limitante superior para o erro, ou seja, descobrir o quanto podemos errar ao aproximar a função nesses pontos. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre derivadas e estimação de erros em aproximações.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando aproximamos uma função por uma reta ou por um polinômio, sempre há um erro associado a essa aproximação. Nosso objetivo é encontrar um limite máximo para esse erro, ou seja, o maior valor que esse erro pode alcançar.
Passo 3
Vamos considerar que estamos utilizando a interpolação linear entre os pontos dados. A fórmula do erro em uma interpolação linear é dada por:
Aqui,
está entre
e
, que são os pontos de interpolação.
Passo 4
Para encontrar o limitante superior do erro, precisamos determinar o valor máximo da segunda derivada da função
no intervalo considerado. A segunda derivada de
é:
Como a função exponencial cresce continuamente, o valor máximo de
no intervalo de
a
ocorre em
.
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do erro com
, e considerando o intervalo
, onde
está no meio, por exemplo,
.
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Calculando os valores numéricos:
Passo 8
Como estamos falando de um limitante superior para o erro, consideramos o valor absoluto:
Resposta
Um limitante superior para o erro é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Encontre uma curva da forma
que melhor ajusta os pontos
.
Considere a função tabelada abaixo.
|
0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.7 |
---|---|---|---|---|---|
|
0.905 | 0.819 | 0.673 | 0.549 | 0.490 |
Dê uma estimativa para o erro cometido no item anterior.
Dado o conjunto de pontos
. Encontre uma função linear usando o método dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a esses pontos.
Considerando a função
tabelada abaixo:
Utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de
nestes pontos e obtenha uma aproximação para
.