Considere a função tabelada abaixo.
|
0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.7 |
---|---|---|---|---|---|
|
0.905 | 0.819 | 0.673 | 0.549 | 0.490 |
Dê uma estimativa para o erro cometido no item anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela com alguns valores de
e
. O enunciado pede para estimar o erro cometido no item anterior. Isso geralmente envolve entender como a aproximação que fizemos pode diferir do valor real. Para isso, vamos precisar dos conceitos de interpolação e erro de interpolação.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar que tipo de interpolação foi usada no item anterior. Supondo que tenha sido uma interpolação linear, onde conectamos pontos adjacentes com retas. A interpolação linear é simples, mas o erro pode ocorrer dependendo da curvatura da função real entre os pontos.
Passo 3
Para estimar o erro da interpolação linear, podemos usar a fórmula do erro máximo, que depende da segunda derivada da função
. A fórmula é:
Aqui,
é o intervalo onde estamos interpolando.
Passo 4
Vamos aplicar isso aos nossos dados. Observando a tabela, vemos que nossos intervalos variam, então vamos considerar o maior intervalo para ter uma estimativa mais conservadora. O maior intervalo entre os
é de 0.2 (entre 0.2 e 0.4).
Passo 5
Agora, precisamos estimar
. Como não temos a função exata, podemos aproximar a segunda derivada usando diferenças finitas. Calculando:
Usando, por exemplo,
com
:
Mas como não temos
e
, vamos assumir que a segunda derivada não varia drasticamente e usar os valores que temos para uma estimativa.
Passo 6
Com base nos valores disponíveis, podemos supor que
não é muito grande. Para uma estimativa simples, vamos assumir que
(valor hipotético para fins de ilustração).
Passo 7
Agora, aplicando na fórmula do erro:
Resposta
A estimativa para o erro cometido na interpolação é de aproximadamente 0.5.
Exercícios relacionados
Considere a função
dada pela tabela:
e o polinômio
.
Verifique que .
Verifique que
Nos Problemas 14 e 15, determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
para
.
15.
15.
Encontre uma curva da forma
que melhor ajusta os pontos
.
Considerando a função
tabelada abaixo:
Calcule um limitante superior para o erro.