Considere a função tabelada abaixo.
0.1 0.2 0.4 0.6 0.7
0.905 0.819 0.673 0.549 0.490
Dê uma estimativa para o erro cometido no item anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela com alguns valores de e . O enunciado pede para estimar o erro cometido no item anterior. Isso geralmente envolve entender como a aproximação que fizemos pode diferir do valor real. Para isso, vamos precisar dos conceitos de interpolação e erro de interpolação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar que tipo de interpolação foi usada no item anterior. Supondo que tenha sido uma interpolação linear, onde conectamos pontos adjacentes com retas. A interpolação linear é simples, mas o erro pode ocorrer dependendo da curvatura da função real entre os pontos.

Passo 3

Para estimar o erro da interpolação linear, podemos usar a fórmula do erro máximo, que depende da segunda derivada da função . A fórmula é:
Aqui, é o intervalo onde estamos interpolando.

Passo 4

Vamos aplicar isso aos nossos dados. Observando a tabela, vemos que nossos intervalos variam, então vamos considerar o maior intervalo para ter uma estimativa mais conservadora. O maior intervalo entre os é de 0.2 (entre 0.2 e 0.4).

Passo 5

Agora, precisamos estimar . Como não temos a função exata, podemos aproximar a segunda derivada usando diferenças finitas. Calculando:
Usando, por exemplo, com :
Mas como não temos e , vamos assumir que a segunda derivada não varia drasticamente e usar os valores que temos para uma estimativa.

Passo 6

Com base nos valores disponíveis, podemos supor que não é muito grande. Para uma estimativa simples, vamos assumir que (valor hipotético para fins de ilustração).

Passo 7

Agora, aplicando na fórmula do erro:

Resposta

A estimativa para o erro cometido na interpolação é de aproximadamente 0.5.

Exercícios relacionados

Considere a função dada pela tabela:
e o polinômio .
Verifique que .
Nos Problemas 14 e 15, determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma para .
15.
Encontre uma curva da forma que melhor ajusta os pontos .
Considerando a função tabelada abaixo:
Calcule um limitante superior para o erro.