Encontre uma curva da forma y = alpha * e^(b * x) que melhor ajusta os pontos {(1,2),(2,3),(3,5)}.

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar uma curva do tipo que melhor se encaixe nos pontos . Isso envolve entender de ajuste de curvas, especificamente usando o método dos mínimos quadrados pra encontrar os melhores valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos linearizar a equação para facilitar os cálculos. Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Aqui, podemos ver que isso se assemelha a uma equação de reta , onde e .

Passo 3

Agora, vamos transformar os pontos dados usando :
Isso nos dá os pontos , , .

Passo 4

Vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta a esses pontos. Precisamos calcular a média de e de , a inclinação e o intercepto .

Passo 5

Calculamos a inclinação usando:
E o intercepto :

Passo 6

Após encontrar e , recuperamos com:
Então, a curva ajustada será .

Resposta

A curva que melhor ajusta os pontos é , ou simplificando, .

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