Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
2x + 5y - 3 = 0 ; θ = arctg(2,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Você quer transformar a equação através de uma rotação dos eixos coordenados pelo ângulo . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre rotação de eixos. Para resolver, vamos precisar entender como fazer a mudança de coordenadas usando trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação dos eixos coordenados. Quando giramos os eixos em um ângulo , as novas coordenadas estão relacionadas com as antigas pelas seguintes fórmulas:
Essas equações servem para converter as coordenadas antigas em novas após a rotação.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação original :
Vamos distribuir os termos para simplificar:

Passo 4

Vamos agrupar os termos com e :
Agora, precisamos calcular e . Sabemos que , o que significa que:
Podemos formar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é 2 e o cateto adjacente é 5. A hipotenusa será:
Assim:

Passo 5

Substituindo e na equação agrupada:
Simplificando os termos:

Resposta

A equação transformada após a rotação dos eixos é:

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