Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Você quer transformar a equação
através de uma rotação dos eixos coordenados pelo ângulo
. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre rotação de eixos. Para resolver, vamos precisar entender como fazer a mudança de coordenadas usando trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação dos eixos coordenados. Quando giramos os eixos em um ângulo
, as novas coordenadas
estão relacionadas com as antigas
pelas seguintes fórmulas:
Essas equações servem para converter as coordenadas antigas em novas após a rotação.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões na equação original
:
Vamos distribuir os termos para simplificar:
Passo 4
Vamos agrupar os termos com
e
:
Agora, precisamos calcular
e
. Sabemos que
, o que significa que:
Podemos formar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é 2 e o cateto adjacente é 5. A hipotenusa será:
Assim:
Passo 5
Substituindo
e
na equação agrupada:
Simplificando os termos:
Resposta
A equação transformada após a rotação dos eixos é: