Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
2x + 5y - 3 = 0 ; θ = arctg(2,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Você quer transformar a equação através de uma rotação dos eixos coordenados pelo ângulo . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre rotação de eixos. Para resolver, vamos precisar entender como fazer a mudança de coordenadas usando trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação dos eixos coordenados. Quando giramos os eixos em um ângulo , as novas coordenadas estão relacionadas com as antigas pelas seguintes fórmulas:
Essas equações servem para converter as coordenadas antigas em novas após a rotação.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação original :
Vamos distribuir os termos para simplificar:

Passo 4

Vamos agrupar os termos com e :
Agora, precisamos calcular e . Sabemos que , o que significa que:
Podemos formar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é 2 e o cateto adjacente é 5. A hipotenusa será:
Assim:

Passo 5

Substituindo e na equação agrupada:
Simplificando os termos:

Resposta

A equação transformada após a rotação dos eixos é:

Exercícios relacionados

Encontrar as novas coordenadas dos pontos 1,0 e 0,1 quando os eixos coordenados são rodados num ângulo de 90 graus.
Por transformação dos eixos coordenados, representar a equação seguinte noutra que não tenha os termos do grau : x^2 - 4y^2 + 6x + 8y + 1 = 0.
Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para 0 <= x <= 2 pi.
(a) f(x) = sen(2x)
(b) f(x) = 1/3 + 2/3 cos(2x)
Considerando as funções dadas abaixo,
(a) f(x)=x^3-6 x^2+9 x+1
(b) f(x)=x^4+4 x^2-16
© f(x)=x^2(12-x^2)
(d) f(x)=2 x^3-6 x
(e) f(x)=x raiz1-x
(f) f(x)=x e^x
(g) f(x)=x ln x. Pede-se:
i. Determinar o domínio e as raízes de f.
ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f e seus extremos locais.
iii. Analisar a concavidade do gráfico de f e investigar seus possíveis pontos de inflexão.
iv. Calcular lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).
v. Esboçar o gráfico de f e investigar a existência de extremos globais.