Considerando as funções f: R -> R definidas abaixo, decida se são injetoras, sobrejetoras, bijetoras.
f(x) = 2/x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função e precisa descobrir se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos usar os conceitos de injetividade e sobrejetividade. Sem pânico, vou te explicar cada parte passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para cada valor diferente de , ela produz um valor diferente de . Em outras palavras, não tem dois diferentes que dão o mesmo .
Vamos verificar isso para . Suponha que :
Multiplicando ambos os lados por e :
Dividindo por 2:
Isso mostra que se , então . Ou seja, cada diferente realmente gera um único. Portanto, a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo valor possível no conjunto de chegada (no caso, ) tem pelo menos um que mapeia para ele.
Para , queremos ver se para qualquer , existe um tal que :
Resolvendo para :
Aqui, percebemos que não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido. Então, a função não consegue atingir o valor zero. Isso significa que a função não é sobrejetora, já que nem todo número real é alcançado por algum .

Resposta

A função é injetora, mas não é sobrejetora. Portanto, ela não é bijetora.

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