Considerando as funções
definidas abaixo, decida se são injetoras, sobrejetoras, bijetoras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função
e precisa descobrir se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos usar os conceitos de injetividade e sobrejetividade. Sem pânico, vou te explicar cada parte passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para cada valor diferente de
, ela produz um valor diferente de
. Em outras palavras, não tem dois
diferentes que dão o mesmo
.
Vamos verificar isso para
. Suponha que
:
Multiplicando ambos os lados por
e
:
Dividindo por 2:
Isso mostra que se
, então
. Ou seja, cada
diferente realmente gera um
único. Portanto, a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo valor possível no conjunto de chegada (no caso,
) tem pelo menos um
que mapeia para ele.
Para
, queremos ver se para qualquer
, existe um
tal que
:
Resolvendo para
:
Aqui, percebemos que
não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido. Então, a função
não consegue atingir o valor zero. Isso significa que a função não é sobrejetora, já que nem todo número real é alcançado por algum
.
Resposta
A função
é injetora, mas não é sobrejetora. Portanto, ela não é bijetora.
Exercícios relacionados
Use a propriedade das funções inversas para mostrar que
é a inversa de
e vice-versa.
e
Use a propriedade das funções inversas para mostrar que
é a inversa de
e vice-versa.
e g
Considerando as funções
definidas abaixo, decida se são injetoras, sobrejetoras, bijetoras.
Resolva as inequações, escreva as soluções como intervalo ou união de intervalos e represente-as na na reta numérica: