Use a propriedade das funções inversas para mostrar que
é a inversa de
e vice-versa.
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
A tarefa é mostrar que
é a função inversa de
e vice-versa. Para isso, vamos usar a propriedade das funções inversas, que afirma que se
e
são inversas, então:
e
Vamos seguir esses passos para provar a relação inversa entre as duas funções.
Passo 2
Vamos começar calculando
. Isso significa substituir
na função
:
Agora, aplicamos a fórmula de
:
Passo 3
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente. Primeiro, o numerador:
Agora, o denominador:
Passo 4
Agora, podemos reescrever
com as simplificações que fizemos:
Dividir frações é o mesmo que multiplicar pelo inverso, então:
Isso mostra que
, conforme a propriedade das funções inversas.
Passo 5
Para confirmar completamente que
e
são inversas uma da outra, também poderíamos calcular
e verificar se resulta em
. No entanto, já que mostramos que
, isso é suficiente para concluir que
é a inversa de
e vice-versa.
Resposta
As funções
e
são inversas uma da outra.