Considerando as funções definidas abaixo, decida se são injetoras, sobrejetoras, bijetoras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos usar os conceitos de injetividade, sobrejetividade e bijetividade. Basicamente, vamos verificar se cada valor de saída está ligado a um único valor de entrada (injetora), se todos os possíveis valores de saída são alcançados (sobrejetora), ou se as duas condições se cumprem ao mesmo tempo (bijetora).

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, quando dois valores de entrada diferentes são aplicados, eles resultam em saídas diferentes. Em outras palavras, se , então necessariamente .
Então, suponha que :
Simplificando:
Como a função cúbica é crescente e cada número real tem um único cubo, isso implica que:
Isso prova que nossa função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo valor de saída no conjunto de chegada (no caso, ), existe pelo menos um valor de entrada no conjunto de partida tal que .
Queremos resolver para :
Isolando :
Como a raiz cúbica está definida para todos os números reais, para qualquer que escolhermos, sempre teremos um real que satisfaz essa equação. Portanto, a função é sobrejetora.

Resposta

Como a função é injetora e sobrejetora, ela é bijetora.

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Use a propriedade das funções inversas para mostrar que é a inversa de e vice-versa.
e
Resolva as inequações, escreva as soluções como intervalo ou união de intervalos e represente-as na na reta numérica:
Выполните действие: