Considerando as funções
definidas abaixo, decida se são injetoras, sobrejetoras, bijetoras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos usar os conceitos de injetividade, sobrejetividade e bijetividade. Basicamente, vamos verificar se cada valor de saída está ligado a um único valor de entrada (injetora), se todos os possíveis valores de saída são alcançados (sobrejetora), ou se as duas condições se cumprem ao mesmo tempo (bijetora).
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, quando dois valores de entrada diferentes são aplicados, eles resultam em saídas diferentes. Em outras palavras, se
, então necessariamente
.
Então, suponha que
:
Simplificando:
Como a função cúbica é crescente e cada número real tem um único cubo, isso implica que:
Isso prova que nossa função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo valor de saída
no conjunto de chegada (no caso,
), existe pelo menos um valor de entrada
no conjunto de partida tal que
.
Queremos resolver para
:
Isolando
:
Como a raiz cúbica está definida para todos os números reais, para qualquer
que escolhermos, sempre teremos um
real que satisfaz essa equação. Portanto, a função é sobrejetora.
Resposta
Como a função
é injetora e sobrejetora, ela é bijetora.
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Considerando as funções
definidas abaixo, decida se são injetoras, sobrejetoras, bijetoras.
Use a propriedade das funções inversas para mostrar que
é a inversa de
e vice-versa.
e
Resolva as inequações, escreva as soluções como intervalo ou união de intervalos e represente-as na na reta numérica:
Выполните действие: