Considerando as funções , definidas por e , mostre que pode-se ter .
Passo 1
Beleza, temos duas funções definidas no intervalo de -1 a 1: e . A questão quer que a gente mostre que o supremo da soma é menor que a soma dos supremos de e , e que o ínfimo da soma é maior que a soma dos ínfimos de e . Vamos precisar entender o que são supremo e ínfimo e como calcular isso para as funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significam supremo e ínfimo. O supremo de uma função em um intervalo é o menor número que é maior ou igual a todos os valores que a função pode assumir nesse intervalo. Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os valores da função no intervalo.
Passo 3
Vamos calcular o supremo e o ínfimo de cada função separadamente.
Para no intervalo :
O maior valor que pode atingir é quando , então .
O menor valor é quando , então .
Para no mesmo intervalo:
O maior valor é quando , então , então .
O menor valor é quando , então , então .
Passo 4
Agora vamos considerar a soma das funções: . Isso significa que, para qualquer no intervalo , sempre será igual a 0.
Passo 5
Com isso, podemos determinar o supremo e o ínfimo de :
O supremo de é 0, já que todos os valores são iguais a 0, então .