Considerando as funções f, g: [-1, 1] -> R, definidas por f(x) = x e g(x) = -x, mostre que pode-se ter sup(f+g) < sup(f) + sup(g) e inf(f+g) > inf(f) + inf(g).

Passo 1

Beleza, temos duas funções definidas no intervalo de -1 a 1: e . A questão quer que a gente mostre que o supremo da soma é menor que a soma dos supremos de e , e que o ínfimo da soma é maior que a soma dos ínfimos de e . Vamos precisar entender o que são supremo e ínfimo e como calcular isso para as funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significam supremo e ínfimo. O supremo de uma função em um intervalo é o menor número que é maior ou igual a todos os valores que a função pode assumir nesse intervalo. Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os valores da função no intervalo.

Passo 3

Vamos calcular o supremo e o ínfimo de cada função separadamente.
Para no intervalo :
  • O maior valor que pode atingir é quando , então .
  • O menor valor é quando , então .
Para no mesmo intervalo:
  • O maior valor é quando , então , então .
  • O menor valor é quando , então , então .

Passo 4

Agora vamos considerar a soma das funções: . Isso significa que, para qualquer no intervalo , sempre será igual a 0.

Passo 5

Com isso, podemos determinar o supremo e o ínfimo de :
  • O supremo de é 0, já que todos os valores são iguais a 0, então .
  • O ínfimo de também é 0, portanto .

Passo 6

Agora, vamos verificar as desigualdades:
  • e . De fato, .
  • e . Claramente, .

Resposta

Assim, mostramos que e .

Exercícios relacionados