Considerando as funções
, definidas por
e
, mostre que pode-se ter
.
Passo 1
Beleza, temos duas funções definidas no intervalo de -1 a 1:
e
. A questão quer que a gente mostre que o supremo da soma
é menor que a soma dos supremos de
e
, e que o ínfimo da soma
é maior que a soma dos ínfimos de
e
. Vamos precisar entender o que são supremo e ínfimo e como calcular isso para as funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significam supremo e ínfimo. O supremo de uma função em um intervalo é o menor número que é maior ou igual a todos os valores que a função pode assumir nesse intervalo. Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os valores da função no intervalo.
Passo 3
Vamos calcular o supremo e o ínfimo de cada função separadamente.
Para
no intervalo
:
- O maior valor que
pode atingir é quando , então . - O menor valor é quando
, então .
Para
no mesmo intervalo:
- O maior valor é quando
, então , então . - O menor valor é quando
, então , então .
Passo 4
Agora vamos considerar a soma das funções:
. Isso significa que, para qualquer
no intervalo
,
sempre será igual a 0.
Passo 5
Com isso, podemos determinar o supremo e o ínfimo de
:
- O supremo de
é 0, já que todos os valores são iguais a 0, então . - O ínfimo de
também é 0, portanto .
Passo 6
Agora, vamos verificar as desigualdades:
-
e . De fato, . -
e . Claramente, .
Resposta
Assim, mostramos que
e
.