Prove que a sequência
onde
converge e encontre o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a sequência
, onde
, converge e descobrir qual é o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento de
em relação a
quando
cresce. Sabemos que, para grandes valores de
,
é quase igual a
, mas queremos quantificar essa relação.
Passo 3
Podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
Usando a propriedade dos logaritmos,
, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o termo
quando
tende ao infinito. Sabemos que
pode ser aproximado por
para
grande, pois
quando
é pequeno.
Passo 5
Portanto, temos:
E sabemos que
tende a zero quando
tende ao infinito, já que o denominador cresce sem limite.
Passo 6
Logo, o termo adicional na expressão de
tende a zero:
Então, temos:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.