Prove que a sequência onde converge e encontre o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a sequência , onde , converge e descobrir qual é o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento de em relação a quando cresce. Sabemos que, para grandes valores de , é quase igual a , mas queremos quantificar essa relação.
Passo 3
Podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
Usando a propriedade dos logaritmos, , temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o termo quando tende ao infinito. Sabemos que pode ser aproximado por para grande, pois quando é pequeno.
Passo 5
Portanto, temos:
E sabemos que tende a zero quando tende ao infinito, já que o denominador cresce sem limite.
Passo 6
Logo, o termo adicional na expressão de tende a zero: