Prove que a sequência onde converge e encontre o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a sequência , onde , converge e descobrir qual é o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento de em relação a quando cresce. Sabemos que, para grandes valores de , é quase igual a , mas queremos quantificar essa relação.

Passo 3

Podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
Usando a propriedade dos logaritmos, , temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o termo quando tende ao infinito. Sabemos que pode ser aproximado por para grande, pois quando é pequeno.

Passo 5

Portanto, temos:
E sabemos que tende a zero quando tende ao infinito, já que o denominador cresce sem limite.

Passo 6

Logo, o termo adicional na expressão de tende a zero:
Então, temos:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados

Considerando as funções , definidas por e , mostre que pode-se ter .
Prove que, para todo ,
Determine se a sequência onde converge.
Mostre que não existe.