Prove que, para todo n in N,
underbraceraiz2+raiz2+raiz2+cdots+raiz2n- radicais <2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para todo número natural , a expressão com radicais aninhados de 2 fica sempre menor que 2. Isso cai no assunto de sequências e limites, e para resolver, vamos usar indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão:
raiz2 + raiz2 + raiz2 + cdots + raiz2
Com radicais. Vamos chamar essa expressão de .

Passo 3

Para provar que para todo , vamos usar indução matemática. Isso significa que vamos:
  1. Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para .
  2. Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum e, então, mostrar que ela também é verdadeira para .

Passo 4

Base da indução ( a1 = raiz2 approx 1,414 < 2 ):
Então, a afirmação é verdadeira para .

Passo 5

Passo indutivo:
  • Hipótese de indução: Suponha que para algum .
  • Objetivo: Mostrar que .

Passo 6

Vamos expressar ak+1 = raiz2 + ak :
ak+1 = raiz2 + ak < raiz2 + 2 = raiz4 = 2
Pela hipótese de indução, sabemos que . Então:
Portanto, .

Passo 7

Como a base da indução é verdadeira e, se a afirmação é verdadeira para , ela também é para , concluímos que para todo .

Resposta

Para todo , a expressão com radicais aninhados de 2 é sempre menor que 2.

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