Determine se a sequência
onde
converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a sequência
converge. Estamos trabalhando com sequências numéricas e limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta e como ela interage com
conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, lembra que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Isso é super útil porque nos dá uma faixa de valores para a sequência.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por
. Como
é sempre positivo, a desigualdade se mantém na mesma ordem:
Ou seja:
Passo 4
O próximo passo é analisar o que acontece com
e
quando
vai para o infinito. Sabemos que:
e
Então, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se
está entre duas sequências que convergem para 0, então
também converge para 0.
Resposta
A sequência
converge para 0.
Exercícios relacionados
Prove que a sequência
onde
converge e encontre o seu limite.
Considerando as funções
, definidas por
e
, mostre que pode-se ter
.
Mostre que
não existe.
Sejam
tal que
e
uma sequência cujo termo geral é definido por
Mostre que
é monótona e limitada, conclua a partir daí que existe
. Além disso mostre que