Determine se a sequência onde converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a sequência converge. Estamos trabalhando com sequências numéricas e limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta e como ela interage com conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, lembra que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Isso é super útil porque nos dá uma faixa de valores para a sequência.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por . Como é sempre positivo, a desigualdade se mantém na mesma ordem:
Ou seja:

Passo 4

O próximo passo é analisar o que acontece com e quando vai para o infinito. Sabemos que:
e
Então, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se está entre duas sequências que convergem para 0, então também converge para 0.

Resposta

A sequência converge para 0.

Exercícios relacionados

Prove que a sequência onde converge e encontre o seu limite.
Considerando as funções , definidas por e , mostre que pode-se ter .
Mostre que não existe.
Sejam tal que e uma sequência cujo termo geral é definido por
Mostre que é monótona e limitada, conclua a partir daí que existe . Além disso mostre que