Prove que a sequência onde diverge para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a sequência , onde , diverge para . Isso significa que, conforme cresce, os valores de ficam cada vez maiores sem limite superior. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais. Vamos precisar entender como manipular expressões com potências e logaritmos para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Uma boa estratégia é usar logaritmos, porque eles transformam potências em multiplicações, facilitando o cálculo de limites. Vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:

Passo 3

Agora, precisamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Sabemos que para valores pequenos de , . No nosso caso, tende a zero conforme aumenta. Então, podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão de :
Isso significa que cresce aproximadamente como conforme aumenta.

Passo 5

Se tende a quando tende a , então também tende a . Isso acontece porque a função exponencial é contínua e crescente, ou seja, se , então .

Resposta

Portanto, a sequência diverge para .

Exercícios relacionados

(Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam . Mostre que:
Determine se a sequência definida por é limitada.
Prove que, para todo ,
Considerando as funções , definidas por e , mostre que pode-se ter .