Prove que a sequência
onde
diverge para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a sequência
, onde
, diverge para
. Isso significa que, conforme
cresce, os valores de
ficam cada vez maiores sem limite superior. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais. Vamos precisar entender como manipular expressões com potências e logaritmos para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Uma boa estratégia é usar logaritmos, porque eles transformam potências em multiplicações, facilitando o cálculo de limites. Vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Passo 3
Agora, precisamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que para valores pequenos de
,
. No nosso caso,
tende a zero conforme
aumenta. Então, podemos aproximar:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão de
:
Isso significa que
cresce aproximadamente como
conforme
aumenta.
Passo 5
Se
tende a
quando
tende a
, então
também tende a
. Isso acontece porque a função exponencial é contínua e crescente, ou seja, se
, então
.
Resposta
Portanto, a sequência
diverge para
.