Considerando as informações abaixo, determine: c) potência ativa;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a potência ativa em um circuito elétrico. A gente vai usar conceitos de Impedância, Corrente Alternada (AC) e Potência Ativa. Para isso, precisamos entender como calcular a corrente a partir da impedância e da tensão, além de saber como calcular a potência ativa usando esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Impedância ($ \mathbf{Z} $): $ 3 + j4 \ \Omega $
- Tensão ($ v $): $ 42.5 \cos \left(1000 t + 30^{\circ}\right) \ V $
Aqui, $ j $ é a unidade imaginária, e a impedância é composta por uma parte resistiva (3 Ω) e uma parte reativa (4 Ω).
Passo 3
Vamos calcular a magnitude da impedância $ \mathbf{Z} $. A magnitude é dada por:
Onde:
- $ R = 3 \ \Omega $ (resistência)
- $ X = 4 \ \Omega $ (reatância)
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ângulo de fase $ \theta $ da impedância. Esse ângulo é dado por:
Calculando:
Esse ângulo indica o desfasamento entre a corrente e a tensão no circuito.
Passo 5
Vamos determinar agora a tensão eficaz ($ V_{rms} $). A tensão dada é uma função cosseno com amplitude $ V_m = 42,5 \ V $. A tensão eficaz é:
Passo 6
Com a impedância e a tensão eficaz, podemos calcular a corrente eficaz ($ I_{rms} $) usando a Lei de Ohm para circuitos AC:
Passo 7
Agora, vamos usar a fórmula da potência ativa ($ P $):
Sabemos que:
- $ V_{rms} = 30 \ V $
- $ I_{rms} = 6 \ A $
- $ \theta = 53,13^{\circ} $, então $ \cos(53,13^{\circ}) \approx 0,6 $
Calculando:
Resposta
A potência ativa é 108 W.