Considerando as informações abaixo, determine: c) potência ativa;
& Z=3+j 4 Omega & v=42.5 cos (1000 t+30^circ) (V)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a potência ativa em um circuito elétrico. A gente vai usar conceitos de Impedância, Corrente Alternada (AC) e Potência Ativa. Para isso, precisamos entender como calcular a corrente a partir da impedância e da tensão, além de saber como calcular a potência ativa usando esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Impedância ($ \mathbf{Z} $): $ 3 + j4 \ \Omega $
  • Tensão ($ v $): $ 42.5 \cos \left(1000 t + 30^{\circ}\right) \ V $
Aqui, $ j $ é a unidade imaginária, e a impedância é composta por uma parte resistiva (3 Ω) e uma parte reativa (4 Ω).

Passo 3

Vamos calcular a magnitude da impedância $ \mathbf{Z} $. A magnitude é dada por:
Z
Onde:
  • $ R = 3 \ \Omega $ (resistência)
  • $ X = 4 \ \Omega $ (reatância)
Calculando:
|Z| = raizR^2 + X^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo de fase $ \theta $ da impedância. Esse ângulo é dado por:
theta
Calculando:
theta = tan^-1(XR)
Esse ângulo indica o desfasamento entre a corrente e a tensão no circuito.

Passo 5

Vamos determinar agora a tensão eficaz ($ V_{rms} $). A tensão dada é uma função cosseno com amplitude $ V_m = 42,5 \ V $. A tensão eficaz é:
Vrms

Passo 6

Com a impedância e a tensão eficaz, podemos calcular a corrente eficaz ($ I_{rms} $) usando a Lei de Ohm para circuitos AC:
Irms

Passo 7

Agora, vamos usar a fórmula da potência ativa ($ P $):
P
Sabemos que:
  • $ V_{rms} = 30 \ V $
  • $ I_{rms} = 6 \ A $
  • $ \theta = 53,13^{\circ} $, então $ \cos(53,13^{\circ}) \approx 0,6 $
Calculando:
P = Vrms times Irms times cos(theta)

Resposta

A potência ativa é 108 W.

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