Considerando e , faça o gráfico da função e analise o seu comportamento no limite quando .
O campo elétrico produzido por uma distribuição esférica e homogênea de cargas elétricas, de raio , é representado pela seguinte função,
sendo uma constante e a distância do centro da esfera até um ponto qualquer onde o campo está definido.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre campo elétrico gerado por uma esfera com carga elétrica distribuída de maneira uniforme. A função que descreve esse campo elétrico é dada por:
Aqui, e . A gente precisa fazer o gráfico dessa função e analisar como ela se comporta quando tende ao infinito. Vamos usar conceitos de eletrostática e entender como o campo elétrico varia dentro e fora da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada parte da função . Para (dentro da esfera), o campo elétrico é proporcional a , ou seja:
Como , fica:
Isso significa que, dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente conforme a distância do centro aumenta.

Passo 3

Agora, para (fora da esfera), a função é:
Substituindo e :
Aqui, vemos que fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância.

Passo 4

Vamos resumir:
  • Dentro da esfera ( ): — campo elétrico cresce linearmente.
  • Fora da esfera ( ): — campo elétrico diminui conforme o quadrado da distância.

Passo 5

Para fazer o gráfico, vamos plotar as duas partes da função:
  1. Para : uma reta que passa pela origem com inclinação 1.
  2. Para : uma curva hiperbólica que se aproxima do eixo conforme aumenta.
O ponto é onde as duas funções se encontram, garantindo que o gráfico seja contínuo.

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito ( ):
Isso significa que, conforme a distância aumenta muito, o campo elétrico vai se aproximando de zero.

Resposta

O gráfico da função apresenta uma reta crescente para e uma curva decrescente que se aproxima de zero para . No limite, quando tende ao infinito, o campo elétrico tende a zero.

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Determine, se existir, os limites à seguir: ,
Determine se as sérics abaixo sāo convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
a)
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Determine, se existir, os limites à seguir: ,