Considerando
e
, faça o gráfico da função
e analise o seu comportamento no limite quando
.
O campo elétrico produzido por uma distribuição esférica e homogênea de cargas elétricas, de raio
, é representado pela seguinte função,
sendo
uma constante e
a distância do centro da esfera até um ponto qualquer onde o campo está definido.
O campo elétrico produzido por uma distribuição esférica e homogênea de cargas elétricas, de raio
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre campo elétrico gerado por uma esfera com carga elétrica distribuída de maneira uniforme. A função que descreve esse campo elétrico é dada por:
Aqui,
e
. A gente precisa fazer o gráfico dessa função
e analisar como ela se comporta quando
tende ao infinito. Vamos usar conceitos de eletrostática e entender como o campo elétrico varia dentro e fora da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada parte da função
. Para
(dentro da esfera), o campo elétrico é proporcional a
, ou seja:
Como
, fica:
Isso significa que, dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente conforme a distância do centro aumenta.
Passo 3
Agora, para
(fora da esfera), a função é:
Substituindo
e
:
Aqui, vemos que fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância.
Passo 4
Vamos resumir:
- Dentro da esfera (
): — campo elétrico cresce linearmente. - Fora da esfera (
): — campo elétrico diminui conforme o quadrado da distância.
Passo 5
Para fazer o gráfico, vamos plotar as duas partes da função:
- Para
: uma reta que passa pela origem com inclinação 1. - Para
: uma curva hiperbólica que se aproxima do eixo conforme aumenta.
O ponto
é onde as duas funções se encontram, garantindo que o gráfico seja contínuo.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito (
):
Isso significa que, conforme a distância
aumenta muito, o campo elétrico
vai se aproximando de zero.
Resposta
O gráfico da função
apresenta uma reta crescente para
e uma curva decrescente que se aproxima de zero para
. No limite, quando
tende ao infinito, o campo elétrico
tende a zero.
Exercícios relacionados
Determine, se existir, os limites à seguir:
,
Determine se as sérics abaixo sāo convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
a)
a)
Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
Determine, se existir, os limites à seguir:
,