Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos determinar:
  1. O domínio da função .
  2. O domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de domínio de função e derivadas parciais em cálculo multivariável.

Passo 2

Começamos identificando o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida.
A função está definida por duas partes:
  • Para :
  • Para :
A única preocupação é quando o denominador , o que só ocorre em . Mas como a função está definida em , não há problemas de divisão por zero.
Portanto, o domínio da função é todo o plano real .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de , ou seja, e .
Para isso, precisamos derivar em relação a e para cada parte da definição.
Para :
Usaremos a regra do quociente para derivar em relação a e .

Passo 4

Calculando para :
Simplificando:
De maneira similar, calculamos :
Simplificando:

Passo 5

Agora, devemos verificar a existência dessas derivadas no ponto .
Para , a função . Vamos calcular as derivadas parciais nesse ponto usando a definição de derivada.
Por exemplo, para :
Similarmente, para :
Portanto, as derivadas parciais existem em .

Passo 6

Concluímos que as derivadas parciais de primeira ordem e existem em todos os pontos do plano .

Resposta

Domínio da função : todo o plano .
Domínio das derivadas parciais de primeira ordem: todo o plano .

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