Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por partes e precisamos determinar:
- O domínio da função
. - O domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de domínio de função e derivadas parciais em cálculo multivariável.
Passo 2
Começamos identificando o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida.
A função está definida por duas partes:
- Para
: - Para
:
A única preocupação é quando o denominador
, o que só ocorre em
. Mas como a função está definida em
, não há problemas de divisão por zero.
Portanto, o domínio da função
é todo o plano real
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de
, ou seja,
e
.
Para isso, precisamos derivar
em relação a
e
para cada parte da definição.
Para
:
Usaremos a regra do quociente para derivar em relação a
e
.
Passo 4
Calculando
para
:
Simplificando:
De maneira similar, calculamos
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, devemos verificar a existência dessas derivadas no ponto
.
Para
, a função
. Vamos calcular as derivadas parciais nesse ponto usando a definição de derivada.
Por exemplo, para
:
Similarmente, para
:
Portanto, as derivadas parciais existem em
.
Passo 6
Concluímos que as derivadas parciais de primeira ordem
e
existem em todos os pontos do plano
.
Resposta
Domínio da função
: todo o plano
.
Domínio das derivadas parciais de primeira ordem: todo o plano
.
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e
, faça o gráfico da função
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.
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,
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,
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