Determine se as sérics abaixo sāo convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente à análise de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Queremos entender o comportamento desse termo quando fica muito grande. Observando , sabemos que ela cresce muito rápido conforme aumenta.

Passo 3

Vamos simplificar o termo . Quando é grande, domina o 1 no denominador, então podemos aproximar:
Isso nos ajuda a comparar nossa série com uma série conhecida.

Passo 4

Sabemos que a série geométrica é convergente, pois é uma série geométrica com razão . Isso significa que nossa série original tem termos menores que uma série convergente semelhante.

Passo 5

Aplicando o Teste da Comparação, se para todo grande e converge, então também converge. No nosso caso, e sabemos que converge.

Resposta

Portanto, a série converge.

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