Determine se as sérics abaixo sāo convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente à análise de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Queremos entender o comportamento desse termo quando
fica muito grande. Observando
, sabemos que ela cresce muito rápido conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos simplificar o termo
. Quando
é grande,
domina o 1 no denominador, então podemos aproximar:
Isso nos ajuda a comparar nossa série com uma série conhecida.
Passo 4
Sabemos que a série geométrica
é convergente, pois é uma série geométrica com razão
. Isso significa que nossa série original tem termos menores que uma série convergente semelhante.
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação, se
para todo
grande e
converge, então
também converge. No nosso caso,
e sabemos que
converge.
Resposta
Portanto, a série
converge.
Exercícios relacionados
Determine, se existir, os limites à seguir:
,
Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
Determine, se existir, os limites à seguir:
,
Considerando
e
, faça o gráfico da função
e analise o seu comportamento no limite quando
.
O campo elétrico produzido por uma distribuição esférica e homogênea de cargas elétricas, de raio , é representado pela seguinte função,
O campo elétrico produzido por uma distribuição esférica e homogênea de cargas elétricas, de raio
sendo
uma constante e
a distância do centro da esfera até um ponto qualquer onde o campo está definido.