Considerando a Lei do Resfriamento de Newton, obtenha a hora da morte de uma vítima encontrada às 15 h cuja temperatura era de em uma sala com temperatura constante de , que após uma hora, apresentava temperatura de . Obs: pessoa viva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a Lei do Resfriamento de Newton. Resumindo o que foi dado: uma pessoa foi encontrada às 15h com a temperatura de 34ºC numa sala que tá sempre a 25ºC. Depois de uma hora, a temperatura dela caiu para 31ºC. A gente precisa descobrir a hora da morte dessa pessoa. Para resolver, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que relaciona a temperatura do corpo com o tempo e a temperatura ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de mudança da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Matematicamente, fica assim:
Onde:
  • é a temperatura do objeto (no caso, o corpo)
  • é a temperatura ambiente
  • é uma constante positiva
  • é o tempo

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a expressão da temperatura em função do tempo. A solução dessa equação é:
Aqui:
  • é a temperatura inicial do corpo no momento da morte (normalmente 37ºC)
  • é a temperatura do corpo no tempo após a morte

Passo 4

Vamos usar os dados que a gente tem para encontrar a constante . Sabemos que às 15h, a temperatura era 34ºC, e uma hora depois, às 16h, ela caiu para 31ºC.
Primeiro, vamos configurar as equações:
Para (hora da morte até às 15h):
Aplicando o logaritmo natural:
Agora, para às 16h ( ):
Aplicando o logaritmo natural:

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir na primeira equação para encontrar :
Calculando os valores:

Resposta

A hora da morte da vítima foi aproximadamente às 14h17min.

Exercícios relacionados

Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ou falsa dando uma demonstração ou um contraexemplo.
® ( ) Se é uma sequência constante, então diverge;
Calcule
a) Qual a diferença entre e o campo do exercício anterior? é conservativo.
b) Se , calcule
Dê o termo de ordem das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .
(f)