Considerando uma linha infinita carregada uniformemente com densidade embutida em um cilindro dielétrico de raio r , densidade superficial de cargas -o e permissividade
Qual seria a energia W necessária para construir essa configuração de cargas e armazena-la no campo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma linha infinita com densidade de carga uniforme, representada por , que está dentro de um cilindro dielétrico com raio . Esse cilindro tem uma densidade superficial de carga e uma permissividade do material, que é . A pergunta é: qual a energia necessária para montar essa configuração de cargas e armazená-la no campo elétrico?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre energia armazenada em campos elétricos e a configuração de cargas em dielétricos. Vamos dividir a resolução em passos para ficar mais tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada em um campo elétrico. A energia pode ser calculada pela integral da densidade de energia do campo elétrico sobre todo o espaço. A densidade de energia é dada por:
onde é o campo elétrico e é a permissividade do material.
Então, a energia total é:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o campo elétrico gerado por essa configuração de cargas. Temos uma linha infinita carregada com densidade linear de carga e uma carga superficial no cilindro.
Para uma linha infinita com densidade , o campo elétrico a uma distância da linha é dado por:
Mas como temos um cilindro dielétrico, precisamos considerar a influência dessa carga superficial no campo.
Passo 4
Dentro do cilindro dielétrico, o campo elétrico será afetado pela presença da carga superficial. A densidade superficial de carga cria um campo elétrico que se opõe ao campo da linha de carga interna.
Então, o campo total dentro do cilindro será:
Isso porque o campo devido à carga superficial é constante dentro do dielétrico.
Passo 5
Agora que temos o campo elétrico total, podemos calcular a energia armazenada. Vamos integrar a densidade de energia sobre todo o volume do cilindro.
Considerando a simetria cilíndrica, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
Como a linha é infinita, precisamos considerar a energia por unidade de comprimento, ou seja, calcular por , onde tende ao infinito.
Passo 6
Vamos simplificar a integral para energia por unidade de comprimento:
Primeiro, resolvemos a integral em :
Passo 7
Simplificando a expressão:
Vamos expandir o quadrado dentro da integral:
Substituindo na integral:
Passo 8
Vamos distribuir a multiplicação por :
Agora, podemos separar as integrais:
Passo 9
Resolvendo cada integral:
. Porém, ln0 tende ao menos infinito, o que indica que essa parte da energia é infinita, o que sugere que há uma degeneração na configuração inicial.
Para evitar essa divergência, assumimos que a linha não é realmente infinita, ou que há uma distribuição limitada. Mas, para simplificar, vamos considerar apenas as contribuições finitas:
integral0^r drho = r
integral0^r rho , drho = r^22
Então, a energia por unidade de comprimento fica:
WL = pi varepsilon ( infinito - gamma sigmapi varepsilon^2 r + sigma^22 varepsilon^2 r^2 )
Passo 10
Como a primeira integral resultou em um infinito, isso indica que a energia total necessária para construir uma linha infinita de carga é infinita. Isso faz sentido fisicamente, pois uma linha infinita de carga realmente exigiria energia infinita para ser construída.
Portanto, para uma linha finita de comprimento L, a energia seria finita e dada por:
W = pi varepsilon L ( - gamma sigmapi varepsilon^2 r + sigma^22 varepsilon^2 r^2 )
Mas como o enunciado considera uma linha infinita, a resposta final é que a energia W necessária para construir essa configuração de cargas é infinita.
Resposta
A energia W necessária para construir a configuração de cargas descrita é infinita.