Considerando uma linha infinita carregada uniformemente com densidade gamma embutida em um cilindro dielétrico de raio r , densidade superficial de cargas -o e permissividade varepsilon
Qual seria a energia W necessária para construir essa configuração de cargas e armazena-la no campo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma linha infinita com densidade de carga uniforme, representada por gamma, que está dentro de um cilindro dielétrico com raio r. Esse cilindro tem uma densidade superficial de carga -sigma e uma permissividade do material, que é varepsilon. A pergunta é: qual a energia W necessária para montar essa configuração de cargas e armazená-la no campo elétrico?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre energia armazenada em campos elétricos e a configuração de cargas em dielétricos. Vamos dividir a resolução em passos para ficar mais tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada em um campo elétrico. A energia W pode ser calculada pela integral da densidade de energia do campo elétrico sobre todo o espaço. A densidade de energia é dada por:
u = 12 varepsilon E^2
onde E é o campo elétrico e varepsilon é a permissividade do material.
Então, a energia total W é:
W = 12 varepsilon integral E^2 , dV

Passo 3

Agora, precisamos determinar o campo elétrico E gerado por essa configuração de cargas. Temos uma linha infinita carregada com densidade linear de carga gamma e uma carga superficial -sigma no cilindro.
Para uma linha infinita com densidade gamma, o campo elétrico a uma distância r da linha é dado por:
E = gamma2pi varepsilon r
Mas como temos um cilindro dielétrico, precisamos considerar a influência dessa carga superficial -sigma no campo.

Passo 4

Dentro do cilindro dielétrico, o campo elétrico será afetado pela presença da carga superficial. A densidade superficial de carga -sigma cria um campo elétrico que se opõe ao campo da linha de carga interna.
Então, o campo total dentro do cilindro será:
Etotal = gamma2pi varepsilon r - sigmavarepsilon
Isso porque o campo devido à carga superficial -sigma é constante dentro do dielétrico.

Passo 5

Agora que temos o campo elétrico total, podemos calcular a energia armazenada. Vamos integrar a densidade de energia u = 12 varepsilon E^2 sobre todo o volume do cilindro.
Considerando a simetria cilíndrica, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
W = 12 varepsilon integral0^2pi integral0^r integral-infty^infty Etotal^2 , rho , dz , drho , dtheta
Como a linha é infinita, precisamos considerar a energia por unidade de comprimento, ou seja, calcular W por L, onde L tende ao infinito.

Passo 6

Vamos simplificar a integral para energia por unidade de comprimento:
WL = 12 varepsilon integral0^2pi integral0^r ( gamma2pi varepsilon rho - sigmavarepsilon )^2 rho , drho , dtheta
Primeiro, resolvemos a integral em theta:
WL = 12 varepsilon cdot 2pi integral0^r ( gamma2pi varepsilon rho - sigmavarepsilon )^2 rho , drho

Passo 7

Simplificando a expressão:
WL = pi varepsilon integral0^r ( gamma2pi varepsilon rho - sigmavarepsilon )^2 rho , drho
Vamos expandir o quadrado dentro da integral:
( gamma2pi varepsilon rho - sigmavarepsilon )^2 = gamma^24pi^2 varepsilon^2 rho^2 - gamma sigmapi varepsilon^2 rho + sigma^2varepsilon^2
Substituindo na integral:
WL = pi varepsilon integral0^r ( gamma^24pi^2 varepsilon^2 rho^2 - gamma sigmapi varepsilon^2 rho + sigma^2varepsilon^2 ) rho , drho

Passo 8

Vamos distribuir a multiplicação por rho:
WL = pi varepsilon integral0^r ( gamma^24pi^2 varepsilon^2 rho - gamma sigmapi varepsilon^2 + sigma^2 rhovarepsilon^2 ) drho
Agora, podemos separar as integrais:
WL = pi varepsilon ( gamma^24pi^2 varepsilon^2 integral0^r 1rho , drho - gamma sigmapi varepsilon^2 integral0^r drho + sigma^2varepsilon^2 integral0^r rho , drho )

Passo 9

Resolvendo cada integral:
  1. integral0^r 1rho , drho = lnrho gr|0^r. Porém, ln0 tende ao menos infinito, o que indica que essa parte da energia é infinita, o que sugere que há uma degeneração na configuração inicial.
Para evitar essa divergência, assumimos que a linha não é realmente infinita, ou que há uma distribuição limitada. Mas, para simplificar, vamos considerar apenas as contribuições finitas:
  1. integral0^r drho = r
  2. integral0^r rho , drho = r^22
Então, a energia por unidade de comprimento fica:
WL = pi varepsilon ( infinito - gamma sigmapi varepsilon^2 r + sigma^22 varepsilon^2 r^2 )

Passo 10

Como a primeira integral resultou em um infinito, isso indica que a energia total necessária para construir uma linha infinita de carga é infinita. Isso faz sentido fisicamente, pois uma linha infinita de carga realmente exigiria energia infinita para ser construída.
Portanto, para uma linha finita de comprimento L, a energia seria finita e dada por:
W = pi varepsilon L ( - gamma sigmapi varepsilon^2 r + sigma^22 varepsilon^2 r^2 )
Mas como o enunciado considera uma linha infinita, a resposta final é que a energia W necessária para construir essa configuração de cargas é infinita.

Resposta

A energia W necessária para construir a configuração de cargas descrita é infinita.

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