Utilizando o método das imagens, encontre a força de interação entre um dipolo e um plano condutor perfeito

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a força de interação entre um dipolo elétrico e um plano condutor perfeito usando o método das imagens. Vamos precisar entender o que é um dipolo, como funciona o método das imagens e como calcular a força resultante dessa interação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo consiste em duas cargas elétricas de sinais opostos, separadas por uma certa distância. A intensidade do dipolo é representada pelo vetor p, que aponta do negativo para o positivo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o método das imagens. Esse método é usado para simplificar problemas envolvendo condutores. A ideia é substituir o condutor por uma “imagem” das cargas presentes, de forma que as condições de contorno do campo elétrico no condutor sejam satisfeitas sem precisar resolver todo o problema novamente.

Passo 4

No nosso caso, temos um dipolo próximo a um plano condutor perfeito. Para aplicar o método das imagens, imaginamos que existe um dipolo “imagem” do outro lado do condutor, exatamente na mesma distância, mas com momento dipolar invertido. Ou seja, se o dipolo original tem momento p, o dipolo imagem tem momento -p.

Passo 5

Com o dipolo e seu dipolo imagem posicionados, podemos calcular a energia de interação entre eles. A energia de interação U entre dois dipolos é dada pela fórmula:
U = -14pivarepsilon0 3(p cdot r)(p' cdot r) - p cdot p' , r^2r^5
Onde p e p' são os momentos dos dipolos, r é o vetor que conecta os dipolos, e r é a distância entre eles.

Passo 6

Como o dipolo imagem é igual e oposto ao dipolo original ( p' = -p), e a distância entre eles é 2d (se d é a distância do dipolo ao plano), substituímos na fórmula:
U = -14pivarepsilon0 3(p cdot r)(-p cdot r) - p cdot (-p) , (2d)^2(2d)^5
Simplificando, obtemos:
U = 14pivarepsilon0 |p|^2(2d)^3

Passo 7

Agora, para encontrar a força de interação F, basta tomar a derivada da energia em relação à distância d:
F = -dUdd = -14pivarepsilon0 3|p|^2(2d)^4 times (-1)
Simplificando:
F = 3|p|^232pivarepsilon0 d^4

Resposta

A força de interação entre o dipolo e o plano condutor perfeito é:
F = 3,|p|^232,pi,varepsilon0,d^4

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