Utilizando o método das imagens, encontre a força de interação entre um dipolo e um plano condutor perfeito
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a força de interação entre um dipolo elétrico e um plano condutor perfeito usando o método das imagens. Vamos precisar entender o que é um dipolo, como funciona o método das imagens e como calcular a força resultante dessa interação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo consiste em duas cargas elétricas de sinais opostos, separadas por uma certa distância. A intensidade do dipolo é representada pelo vetor
, que aponta do negativo para o positivo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o método das imagens. Esse método é usado para simplificar problemas envolvendo condutores. A ideia é substituir o condutor por uma “imagem” das cargas presentes, de forma que as condições de contorno do campo elétrico no condutor sejam satisfeitas sem precisar resolver todo o problema novamente.
Passo 4
No nosso caso, temos um dipolo próximo a um plano condutor perfeito. Para aplicar o método das imagens, imaginamos que existe um dipolo “imagem” do outro lado do condutor, exatamente na mesma distância, mas com momento dipolar invertido. Ou seja, se o dipolo original tem momento
, o dipolo imagem tem momento
.
Passo 5
Com o dipolo e seu dipolo imagem posicionados, podemos calcular a energia de interação entre eles. A energia de interação
entre dois dipolos é dada pela fórmula:
Onde
e
são os momentos dos dipolos,
é o vetor que conecta os dipolos, e
é a distância entre eles.
Passo 6
Como o dipolo imagem é igual e oposto ao dipolo original (
), e a distância entre eles é
(se
é a distância do dipolo ao plano), substituímos na fórmula:
Simplificando, obtemos:
Passo 7
Agora, para encontrar a força de interação
, basta tomar a derivada da energia em relação à distância
:
Simplificando:
Resposta
A força de interação entre o dipolo e o plano condutor perfeito é: