Considerando uma massa de 0,040 kg, a posição em metros e o tempo em segundos, e dado que um corpo oscila com movimento harmônico simples descrito pela seguinte equação:
x(t)=0,3 sen(4 t)+0,4 cos (4 t)
determine:
A equação para a aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente achar a equação da aceleração de um objeto que está fazendo um movimento harmônico simples. A gente tem a posição do objeto em função do tempo, dada por:
x(t) = 0,3 sin(4 t) + 0,4 cos(4 t)
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, já que a aceleração está relacionada à segunda derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que no movimento harmônico simples (MHS), a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se $ x(t) $ é a posição, então a aceleração $ a(t) $ é:
x(t)
Então, nosso próximo passo é calcular a primeira derivada de $ x(t) $ para depois encontrar a segunda derivada.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de $ x(t) $. A derivada de $ \sin(kt) $ é $ k \cos(kt) $ e a derivada de $ \cos(kt) $ é $ -k \sin(kt) $. Aplicando isso:
x(t)
Simplificando:
sin(kt)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada:
d^2x(t)dt^2 = ddt (1,2 cos(4 t) - 1,6 sin(4 t))
Derivando novamente:
d^2x(t)dt^2 = -1,2 cdot 4 sin(4 t) - 1,6 cdot 4 cos(4 t)
Simplificando:
a(t) = -4,8 sin(4 t) - 6,4 cos(4 t)

Resposta

A equação da aceleração é:
a(t) = -4,8 sin(4 t) - 6,4 cos(4 t)

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