Considerando uma massa de
, a posição em metros e o tempo em segundos, e dado que um corpo oscila com movimento harmônico simples descrito pela seguinte equação:
determine:
A equação para a aceleração.
A equação para a aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente achar a equação da aceleração de um objeto que está fazendo um movimento harmônico simples. A gente tem a posição do objeto em função do tempo, dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, já que a aceleração está relacionada à segunda derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que no movimento harmônico simples (MHS), a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se $ x(t) $ é a posição, então a aceleração $ a(t) $ é:
Então, nosso próximo passo é calcular a primeira derivada de $ x(t) $ para depois encontrar a segunda derivada.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de $ x(t) $. A derivada de $ \sin(kt) $ é $ k \cos(kt) $ e a derivada de $ \cos(kt) $ é $ -k \sin(kt) $. Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada:
Derivando novamente:
Simplificando:
Resposta
A equação da aceleração é: