Considerando uma massa de
, a posição em metros e o tempo em segundos, e dado que um corpo oscila com movimento harmônico simples descrito pela seguinte equação:
determine:
A velocidade máxima.
A velocidade máxima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento harmônico simples (MHS). A gente tem uma massa de 0,040 kg que está oscilando, e a posição dessa massa em função do tempo é dada por:
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade máxima que essa massa atinge durante o movimento. Para isso, vamos precisar entender como relacionar a posição com a velocidade no MHS.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos a função da posição $ x(t) $, a velocidade $ v(t) $ é dada por:
Isso significa que vamos derivar cada termo da função $ x(t) $ para encontrar $ v(t) $.
Passo 3
Vamos derivar cada parte da função $ x(t) $. A derivada de $ \sin(4t) $ é $ 4 \cos(4t) $ e a derivada de $ \cos(4t) $ é $ -4 \sin(4t) $. Aplicando isso, temos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 4
Para encontrar a velocidade máxima, precisamos determinar o valor máximo que $ v(t) $ pode atingir. No caso de uma função trigonométrica como essa, a velocidade máxima acontece quando a combinação das funções seno e cosseno alcança seu valor máximo.
Uma maneira de encontrar isso é reescrever a expressão da velocidade na forma de uma única função seno ou cosseno com amplitude máxima. Para isso, usamos a fórmula:
onde $ C = \sqrt{A^2 + B^2} $ é a amplitude máxima.
Passo 5
Aplicando essa fórmula à nossa função de velocidade:
Então, a amplitude $ C $ será:
Isso significa que a velocidade máxima é 2,00 m/s.
Resposta
A velocidade máxima da massa é de 2,00 m/s.