Considerando uma massa de 0,040 kg, a posição em metros e o tempo em segundos, e dado que um corpo oscila com movimento harmônico simples descrito pela seguinte equação:
x(t)=0,3 sen(4 t)+0,4 cos (4 t)
determine:
A velocidade máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento harmônico simples (MHS). A gente tem uma massa de 0,040 kg que está oscilando, e a posição dessa massa em função do tempo é dada por:
x(t) = 0,3 sin(4 t) + 0,4 cos(4 t)
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade máxima que essa massa atinge durante o movimento. Para isso, vamos precisar entender como relacionar a posição com a velocidade no MHS.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos a função da posição $ x(t) $, a velocidade $ v(t) $ é dada por:
x(t)
Isso significa que vamos derivar cada termo da função $ x(t) $ para encontrar $ v(t) $.

Passo 3

Vamos derivar cada parte da função $ x(t) $. A derivada de $ \sin(4t) $ é $ 4 \cos(4t) $ e a derivada de $ \cos(4t) $ é $ -4 \sin(4t) $. Aplicando isso, temos:
x(t)
Simplificando os coeficientes:
sin(4t)

Passo 4

Para encontrar a velocidade máxima, precisamos determinar o valor máximo que $ v(t) $ pode atingir. No caso de uma função trigonométrica como essa, a velocidade máxima acontece quando a combinação das funções seno e cosseno alcança seu valor máximo.
Uma maneira de encontrar isso é reescrever a expressão da velocidade na forma de uma única função seno ou cosseno com amplitude máxima. Para isso, usamos a fórmula:
v(t)
onde $ C = \sqrt{A^2 + B^2} $ é a amplitude máxima.

Passo 5

Aplicando essa fórmula à nossa função de velocidade:
A = 1,2 e B = -1,6
Então, a amplitude $ C $ será:
C
Isso significa que a velocidade máxima é 2,00 m/s.

Resposta

A velocidade máxima da massa é de 2,00 m/s.

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