Sejam e retas dadas por:
e
Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal a e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas e definidas por:
O objetivo é encontrar a equação de uma reta que passa pela origem e é ortogonal, ou seja, perpendicular, a ambas as retas e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores direcionais e como encontrar vetores ortogonais usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das retas e . Para a reta , a forma simétrica nos mostra os coeficientes de , e , que correspondem aos componentes do vetor direcional.
Para :
Agora, para a reta , que está na forma paramétrica, podemos escrever as equações de e em termos de :
Aqui, o coeficiente de nas duas equações nos dá os componentes do vetor direcional:

Passo 3

Agora que temos os vetores direcionais e , precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos. Isso significa que esse novo vetor deve satisfazer as condições de ortogonalidade com e .
Para encontrar esse vetor, usamos o produto vetorial (ou produto cruzado) entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Então, o vetor resultante é:

Passo 5

Agora que temos o vetor direcional para a reta que passa pela origem e é ortogonal a e , podemos escrever a equação paramétrica dessa reta.
Como a reta passa pela origem, o ponto de referência é . Então, a equação paramétrica fica:
Simplificando, temos:

Resposta

A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal a e é:

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a)
b) A é inversível.
c)
d)
e)