Sejam r1 e r2 retas dadas por:
r1: x2=y-1=z-3-2 e r2:ly=3 x-1 z=-x+4
Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal a r1 e r2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas r1: x2 = y-1 = z-3-2 e r2:ly=3x-1 z=-x+4 e definidas por:
O objetivo é encontrar a equação de uma reta que passa pela origem e é ortogonal, ou seja, perpendicular, a ambas as retas e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores direcionais e como encontrar vetores ortogonais usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das retas v1 = 2 -1 -2 e y = 3x - 1 e z = -x + 4 . Para a reta v2 = 1 3 -1 , a forma simétrica nos mostra os coeficientes de , e , que correspondem aos componentes do vetor direcional.
Para :
Agora, para a reta , que está na forma paramétrica, podemos escrever as equações de e em termos de :
Aqui, o coeficiente de nas duas equações nos dá os componentes do vetor direcional:

Passo 3

Agora que temos os vetores direcionais e , precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos. Isso significa que esse novo vetor deve satisfazer as condições de ortogonalidade com e .
Para encontrar esse vetor, usamos o produto vetorial (ou produto cruzado) entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial v1 times v2 = i & j & k 2 & -1 & -2 1 & 3 & -1 :
v1 times v2 = i cdot ((-1)(-1) - (-2)(3)) - j cdot (2(-1) - (-2)(1)) + k cdot (2(3) - (-1)(1))
Calculando o determinante:
v1 times v2 = i cdot (1 + 6) - j cdot (-2 + 2) + k cdot (6 + 1)
Simplificando cada componente:
v1 times v2 = 7i - 0j + 7k
v = 7 0 7
Então, o vetor resultante é:

Passo 5

Agora que temos o vetor direcional 7 0 7 para a reta que passa pela origem e é ortogonal a x = 0 + 7t y = 0 + 0t z = 0 + 7t e x = 7t y = 0 z = 7t , podemos escrever a equação paramétrica dessa reta.
Como a reta passa pela origem, o ponto de referência é . Então, a equação paramétrica fica:
Simplificando, temos:

Resposta

A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal a boxed x = 7t y = 0 z = 7t t in R e é:

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