Sejam e retas dadas por: e
Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal a e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas e definidas por:
O objetivo é encontrar a equação de uma reta que passa pela origem e é ortogonal, ou seja, perpendicular, a ambas as retas e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores direcionais e como encontrar vetores ortogonais usando o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das retas e . Para a reta , a forma simétrica nos mostra os coeficientes de , e , que correspondem aos componentes do vetor direcional.
Para :
Agora, para a reta , que está na forma paramétrica, podemos escrever as equações de e em termos de :
Aqui, o coeficiente de nas duas equações nos dá os componentes do vetor direcional:
Passo 3
Agora que temos os vetores direcionais e , precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos. Isso significa que esse novo vetor deve satisfazer as condições de ortogonalidade com e .
Para encontrar esse vetor, usamos o produto vetorial (ou produto cruzado) entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Então, o vetor resultante é:
Passo 5
Agora que temos o vetor direcional para a reta que passa pela origem e é ortogonal a e , podemos escrever a equação paramétrica dessa reta.
Como a reta passa pela origem, o ponto de referência é . Então, a equação paramétrica fica:
Simplificando, temos:
Resposta
A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal a e é: