Considerando a matriz e sendo um subespaço vetorial do das soluções da equação , tem-se que a dimensão de é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a dimensão do subespaço das soluções da equação , onde a matriz é dada. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar descobrir quantas soluções lineares independentes existem para essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema . A matriz é:
Como é um sistema homogêneo (igual a zero), vamos usar apenas a própria matriz para resolver.
Passo 3
Vamos realizar operações elementares para colocar a matriz em forma escalonada, facilitando a identificação das variáveis livres e pivôs.
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento:
Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Subtraia a primeira linha da terceira linha:
Depois dessas operações, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o elemento abaixo dela na terceira linha.
Some a terceira linha com a segunda linha:
A matriz fica:
Passo 5
Com a matriz em forma escalonada, podemos escrever as equações correspondentes:
1ª linha:
2ª linha:
A terceira linha não traz nenhuma informação adicional (0 = 0).
Passo 6
Vamos resolver as equações:
Da 2ª equação:
Chame , onde é um parâmetro livre.
Da 1ª equação:
Passo 7
Portanto, todas as soluções do sistema são dadas por:
Isso mostra que o conjunto de soluções é gerado por um único vetor, ou seja, é uma linha.
Resposta
A dimensão de é 1. Portanto, a alternativa correta é a letra b) 1.