Considerando a matriz A = [[1, 1, 1], [3, -1, 1], [1, 5, 3]] e sendo S um subespaço vetorial do R^3 das soluções da equação A X = 0, tem-se que a dimensão de S é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a dimensão do subespaço das soluções da equação , onde a matriz é dada. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar descobrir quantas soluções lineares independentes existem para essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema . A matriz é:
Como é um sistema homogêneo (igual a zero), vamos usar apenas a própria matriz para resolver.

Passo 3

Vamos realizar operações elementares para colocar a matriz em forma escalonada, facilitando a identificação das variáveis livres e pivôs.
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento:
  • Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha:
Depois dessas operações, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o elemento abaixo dela na terceira linha.
  • Some a terceira linha com a segunda linha:
A matriz fica:

Passo 5

Com a matriz em forma escalonada, podemos escrever as equações correspondentes:
1ª linha:
2ª linha:
A terceira linha não traz nenhuma informação adicional (0 = 0).

Passo 6

Vamos resolver as equações:
Da 2ª equação:
Chame , onde é um parâmetro livre.
Da 1ª equação:

Passo 7

Portanto, todas as soluções do sistema são dadas por:
Isso mostra que o conjunto de soluções é gerado por um único vetor, ou seja, é uma linha.

Resposta

A dimensão de é 1. Portanto, a alternativa correta é a letra b) 1.

Exercícios relacionados