Sabemos que s séries, em geral, podem ser convergentes ou divergentes.
Observe as séries e .
Em relação à convergência e divergência, as séries e são
a) convergentes.
b) divergentes.
c) convergente e divergente, respectivamente.
d) divergente e convergente, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries! O exercício nos apresenta duas séries, a e a , e pergunta se elas são convergentes ou divergentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são séries convergentes e divergentes, além de aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série :
Essa é uma série geométrica. Você lembra o que é uma série geométrica? É uma série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante .
Passo 3
Para uma série geométrica da forma:
a série converge se o valor absoluto da razão . Se , a série diverge.
Passo 4
No caso da série , podemos reescrevê-la para encaixar na forma padrão:
Aqui, e . Vamos verificar a condição de convergência:
Como , a série é convergente.
Passo 5
Agora, vamos analisar a série B = sumn=1^infty n^32n^3 + 4 :
Para determinar a convergência dessa série, vamos observar o comportamento dos termos quando tende ao infinito.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da série n^32n^3 + 4 = n^3n^3(2 + 4n^3) = 12 + 4n^3 :
limn to infty 12 + 4n^3 = 12
Quando tende ao infinito, tende a zero, então:
Passo 7
Para uma série limn to infty n^32n^3 + 4 = 12 neq 0 convergir, é necessário que . No caso da série , vimos que:
Como o limite não é zero, pela Prova da Divergência, a série diverge.
Resposta
A resposta correta é a opção c): a série é convergente e a série é divergente.