Sabemos que s séries, em geral, podem ser convergentes ou divergentes.
Observe as séries A=sumn=1^infty 2 cdot(-34)^n-1 e B=sumn=1^infty n^32 n^3+4.
Em relação à convergência e divergência, as séries A e B são
a) convergentes.
b) divergentes.
c) convergente e divergente, respectivamente.
d) divergente e convergente, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries! O exercício nos apresenta duas séries, a e a , e pergunta se elas são convergentes ou divergentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são séries convergentes e divergentes, além de aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série A = sumn=1^infty 2 cdot (-34)^n-1 :
Essa é uma série geométrica. Você lembra o que é uma série geométrica? É uma série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante .

Passo 3

Para uma série geométrica da forma:
sumn=0^infty ar^n
a série converge se o valor absoluto da razão . Se , a série diverge.

Passo 4

No caso da série A = 2 cdot sumn=0^infty (-34)^n , podemos reescrevê-la para encaixar na forma padrão:
| -34 | = 34 < 1
Aqui, e . Vamos verificar a condição de convergência:
Como , a série é convergente.

Passo 5

Agora, vamos analisar a série B = sumn=1^infty n^32n^3 + 4 :
Para determinar a convergência dessa série, vamos observar o comportamento dos termos quando tende ao infinito.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da série n^32n^3 + 4 = n^3n^3(2 + 4n^3) = 12 + 4n^3 :
limn to infty 12 + 4n^3 = 12
Quando tende ao infinito, tende a zero, então:

Passo 7

Para uma série limn to infty n^32n^3 + 4 = 12 neq 0 convergir, é necessário que . No caso da série , vimos que:
Como o limite não é zero, pela Prova da Divergência, a série diverge.

Resposta

A resposta correta é a opção c): a série é convergente e a série é divergente.

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