Em relação a transformação linear T: R^3 -> R^2, definida por T(x, y, z) = (x + y - z, 2x - y + z), e as bases α = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} e β = {(1, 2), (1, -1)}, podemos encontrar a matriz [T]_{beta}^{alpha}. Qual é essa a matriz?
a) (1 -1 1 1 0 -1)
b) ((0 3) (2 1) (-1 1))
c) (1 1 0; -1 1 -1)
d) (0 2 -1; 3 1 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: para e para . Nosso objetivo é encontrar a matriz da transformação referente a essas bases, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz representa como a transformação age nos vetores da base e expressa os resultados na base . Para construir essa matriz, precisamos seguir alguns passos:
  1. Aplicar a cada vetor da base .
  2. Expressar o resultado de cada aplicação de em termos dos vetores da base .
  3. Organizar esses coeficientes em colunas para formar a matriz .

Passo 3

Vamos aplicar a cada vetor da base :
  1. Primeiro vetor de :
  2. Segundo vetor de :
  3. Terceiro vetor de :

Passo 4

Agora, precisamos expressar cada resultado na base . Isso significa encontrar coeficientes e tais que:
Vamos resolver para cada :
  1. Para
    Resolvendo, encontramos e .
  2. Para
    Resolvendo, encontramos e .
  3. Para
    Resolvendo, encontramos e .

Resposta

A matriz é:
Alternativa c)

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