Considerando a matriz e usando o método de Laplace:

Calcule o determinante de M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o determinante da matriz usando o método de Laplace. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir determinantes usando co-fatores e simplificar a conta passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz :
Como a matriz é 5x5, calcular o determinante diretamente pode ser muito trabalhoso. Por isso, o método de Laplace é uma boa escolha porque nos permite expandir o determinante em termos de determinantes de matrizes menores.

Passo 3

Para facilitar a conta, vamos escolher uma linha ou coluna com mais zeros, já que isso simplifica os cálculos. Olhando a matriz, a segunda linha tem dois zeros, então vamos expandir o determinante por essa linha.

Passo 4

O método de Laplace nos diz que o determinante pode ser calculado como a soma dos elementos da linha multiplicados pelos seus cofatores correspondentes:
Onde é o menor da matriz obtido removendo a segunda linha e a coluna .

Passo 5

Vamos identificar os elementos não nulos da segunda linha. Na segunda linha, apenas os elementos na terceira, quarta e quinta colunas são diferentes de zero:
Então, nosso determinante será:

Passo 6

Calculando os sinais:
Então:

Passo 7

Agora, precisamos calcular os determinantes dos menores , e . Cada um desses será uma matriz 4x4. Vamos fazer isso um por um.

Passo 8

Calculando :
Removendo a segunda linha e terceira coluna de :
Usaremos novamente o método de Laplace para calcular este determinante, escolhendo a terceira coluna que tem mais zeros.

Passo 9

Repetindo os passos, calculamos os determinantes de , e . Após realizar os cálculos (que são extensos para este espaço), obtemos os seguintes valores:

Passo 10

Substituindo esses valores na expressão original:

Resposta

O determinante da matriz é .

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Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
(b) .
Resolva o sistema linear:

Por Cramer
Indicando com card o número de elementos do conjunto finito , prove:
a) Se é finito e então .
Se o Det calcule os determinantes, justificando sua resposta.