Indicando com card o número de elementos do conjunto finito , prove:
a) Se é finito e então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se é um conjunto finito e é um subconjunto de , então o número de elementos de (que chamamos de ) é menor ou igual ao número de elementos de ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser finito e o que é um subconjunto. Também vamos usar algumas propriedades básicas da contagem de elementos em conjuntos.

Passo 2

Primeiramente, vamos relembrar que um conjunto é finito se ele tem um número finito de elementos. Por exemplo, o conjunto é finito porque tem 3 elementos. O número de elementos de é chamado de cardinalidade de , denotado por .

Passo 3

Agora, um conjunto é um subconjunto de (escrito ) se todos os elementos de também estão em . Por exemplo, se , então é um subconjunto de .

Passo 4

Para provar que , vamos pensar no seguinte: se todos os elementos de estão em , então o número de elementos em não pode ser maior que o de . Se tem, por exemplo, 5 elementos, pode ter no máximo 5 elementos, ou menos se não incluir todos de .

Passo 5

Vamos formalizar isso usando princípios de contagem. Suponha que tenha elementos, onde é um número inteiro positivo ( ). Já que é um subconjunto de , cada elemento de deve ser um desses elementos.

Passo 6

Podemos pensar em listar os elementos de . Cada vez que adicionamos um elemento a , estamos escolhendo um elemento de . Não podemos escolher mais elementos do que existem em , então o número de escolhas possíveis para os elementos de é limitado por .

Passo 7

Portanto, o número de elementos em ( ) não pode exceder o número de elementos em ( ). Assim, mostramos que .

Resposta

Concluímos que, se é um conjunto finito e é um subconjunto de , então .

Exercícios relacionados

Considerando a matriz e usando o método de Laplace:

Calcule o determinante de M.
Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
(b) .
Se o Det calcule os determinantes, justificando sua resposta.
Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
© .