Indicando com card o número de elementos do conjunto finito , prove:
a) Se é finito e então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se é um conjunto finito e é um subconjunto de , então o número de elementos de (que chamamos de ) é menor ou igual ao número de elementos de (). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser finito e o que é um subconjunto. Também vamos usar algumas propriedades básicas da contagem de elementos em conjuntos.
Passo 2
Primeiramente, vamos relembrar que um conjunto é finito se ele tem um número finito de elementos. Por exemplo, o conjunto é finito porque tem 3 elementos. O número de elementos de é chamado de cardinalidade de , denotado por .
Passo 3
Agora, um conjunto é um subconjunto de (escrito ) se todos os elementos de também estão em . Por exemplo, se , então é um subconjunto de .
Passo 4
Para provar que , vamos pensar no seguinte: se todos os elementos de estão em , então o número de elementos em não pode ser maior que o de . Se tem, por exemplo, 5 elementos, pode ter no máximo 5 elementos, ou menos se não incluir todos de .
Passo 5
Vamos formalizar isso usando princípios de contagem. Suponha que tenha elementos, onde é um número inteiro positivo (). Já que é um subconjunto de , cada elemento de deve ser um desses elementos.
Passo 6
Podemos pensar em listar os elementos de . Cada vez que adicionamos um elemento a , estamos escolhendo um elemento de . Não podemos escolher mais elementos do que existem em , então o número de escolhas possíveis para os elementos de é limitado por .
Passo 7
Portanto, o número de elementos em () não pode exceder o número de elementos em (). Assim, mostramos que .
Resposta
Concluímos que, se é um conjunto finito e é um subconjunto de , então .