Indicando com card
o número de elementos do conjunto finito
, prove:
a) Se
é finito e
então
.
a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se
é um conjunto finito e
é um subconjunto de
, então o número de elementos de
(que chamamos de
) é menor ou igual ao número de elementos de
(
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser finito e o que é um subconjunto. Também vamos usar algumas propriedades básicas da contagem de elementos em conjuntos.
Passo 2
Primeiramente, vamos relembrar que um conjunto
é finito se ele tem um número finito de elementos. Por exemplo, o conjunto
é finito porque tem 3 elementos. O número de elementos de
é chamado de cardinalidade de
, denotado por
.
Passo 3
Agora, um conjunto
é um subconjunto de
(escrito
) se todos os elementos de
também estão em
. Por exemplo, se
, então
é um subconjunto de
.
Passo 4
Para provar que
, vamos pensar no seguinte: se todos os elementos de
estão em
, então o número de elementos em
não pode ser maior que o de
. Se
tem, por exemplo, 5 elementos,
pode ter no máximo 5 elementos, ou menos se não incluir todos de
.
Passo 5
Vamos formalizar isso usando princípios de contagem. Suponha que
tenha
elementos, onde
é um número inteiro positivo (
). Já que
é um subconjunto de
, cada elemento de
deve ser um desses
elementos.
Passo 6
Podemos pensar em listar os elementos de
. Cada vez que adicionamos um elemento a
, estamos escolhendo um elemento de
. Não podemos escolher mais elementos do que existem em
, então o número de escolhas possíveis para os elementos de
é limitado por
.
Passo 7
Portanto, o número de elementos em
(
) não pode exceder o número de elementos em
(
). Assim, mostramos que
.
Resposta
Concluímos que, se
é um conjunto finito e
é um subconjunto de
, então
.