Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
(b) T: R^3 R, T(x, y)=x-2 y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é determinar o núcleo dessa transformação e descrever geometricamente esse conjunto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e núcleos de transformações.

Passo 2

O núcleo de uma transformação linear Núc<=o(T) = v in R^3 | T(v) = 0 é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matematicamente, isso é representado por:
ú
No nosso caso, queremos encontrar todos os vetores em que satisfazem a equação .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(x, y, z) = x - 2y = 0 ao vetor (x, y, z) = (2y, y, z) :
Essa equação nos diz que , ou seja, . Note que a variável não aparece na equação, o que significa que ela pode assumir qualquer valor real. Portanto, os vetores que pertencem ao núcleo de são da forma:
Onde e são números reais quaisquer.

Passo 4

Para descrever geometricamente o núcleo de , observamos que a condição define um plano no espaço tridimensional . Esse plano é parametrizado por e , mostrando que para cada valor de e , há um ponto no plano correspondente. Assim, o núcleo de é um plano que passa pela origem e que está definido pela equação .

Resposta

O núcleo da transformação é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Geometricamente, esse núcleo é um plano no espaço tridimensional definido pela equação .

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