Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
(b) .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é determinar o núcleo dessa transformação e descrever geometricamente esse conjunto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e núcleos de transformações.
Passo 2
O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, queremos encontrar todos os vetores em que satisfazem a equação .
Passo 3
Vamos aplicar a transformação ao vetor :
Essa equação nos diz que , ou seja, . Note que a variável não aparece na equação, o que significa que ela pode assumir qualquer valor real. Portanto, os vetores que pertencem ao núcleo de são da forma:
Onde e são números reais quaisquer.
Passo 4
Para descrever geometricamente o núcleo de , observamos que a condição define um plano no espaço tridimensional . Esse plano é parametrizado por e , mostrando que para cada valor de e , há um ponto no plano correspondente. Assim, o núcleo de é um plano que passa pela origem e que está definido pela equação .
Resposta
O núcleo da transformação é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Geometricamente, esse núcleo é um plano no espaço tridimensional definido pela equação .