Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
(b)
.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é determinar o núcleo dessa transformação e descrever geometricamente esse conjunto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e núcleos de transformações.
Passo 2
O núcleo de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, queremos encontrar todos os vetores
em
que satisfazem a equação
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação
ao vetor
:
Essa equação nos diz que
, ou seja,
. Note que a variável
não aparece na equação, o que significa que ela pode assumir qualquer valor real. Portanto, os vetores que pertencem ao núcleo de
são da forma:
Onde
e
são números reais quaisquer.
Passo 4
Para descrever geometricamente o núcleo de
, observamos que a condição
define um plano no espaço tridimensional
. Esse plano é parametrizado por
e
, mostrando que para cada valor de
e
, há um ponto no plano correspondente. Assim, o núcleo de
é um plano que passa pela origem e que está definido pela equação
.
Resposta
O núcleo da transformação
é o conjunto de todos os vetores
que satisfazem
. Geometricamente, esse núcleo é um plano no espaço tridimensional definido pela equação
.