Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
(b) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é determinar o núcleo dessa transformação e descrever geometricamente esse conjunto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e núcleos de transformações.

Passo 2

O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matematicamente, isso é representado por:
ú
No nosso caso, queremos encontrar todos os vetores em que satisfazem a equação .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação ao vetor :
Essa equação nos diz que , ou seja, . Note que a variável não aparece na equação, o que significa que ela pode assumir qualquer valor real. Portanto, os vetores que pertencem ao núcleo de são da forma:
Onde e são números reais quaisquer.

Passo 4

Para descrever geometricamente o núcleo de , observamos que a condição define um plano no espaço tridimensional . Esse plano é parametrizado por e , mostrando que para cada valor de e , há um ponto no plano correspondente. Assim, o núcleo de é um plano que passa pela origem e que está definido pela equação .

Resposta

O núcleo da transformação é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Geometricamente, esse núcleo é um plano no espaço tridimensional definido pela equação .

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Resolva o problema de valor inicial:
a) .
Considerando a matriz e usando o método de Laplace:

Calcule o determinante de M.
Indicando com card o número de elementos do conjunto finito , prove:
a) Se é finito e então .