Considerando a matriz M e usando o método de Laplace:
M=|lllll2 & 3 & 7 & 0 & -3 0 & 0 & -4 & 3 & 2 3 & 0 & 1 & 2 & 1 0 & -4 & 6 & 0 & -5 5 & 0 & 0 & -1 & 3|
Qual é a maneira menos trabalhosa de calcular o determinante de M? Justifique!!

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada 5x5 chamada M, e queremos calcular o seu determinante usando o método de Laplace. O determinante é um número que nos dá muita informação sobre a matriz, como se ela é inversível ou não. Para resolver isso de forma eficiente, vamos precisar escolher a melhor linha ou coluna para expandir, de preferência aquela que facilita os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz M e identificar se há alguma linha ou coluna com muitos zeros. Isso é importante porque, ao usar o método de Laplace, cada zero simplifica muito a conta, já que qualquer número multiplicado por zero é zero, reduzindo assim a quantidade de termos que precisamos calcular.

Passo 3

Analisando a matriz M:
M = 2 & 3 & 7 & 0 & -3 0 & 0 & -4 & 3 & 2 3 & 0 & 1 & 2 & 1 0 & -4 & 6 & 0 & -5 5 & 0 & 0 & -1 & 3
Percebemos que a segunda linha e a quarta coluna têm vários zeros. Escolher uma delas para a expansão vai facilitar bastante nosso trabalho.

Passo 4

Vamos optar pela segunda linha, pois ela tem dois zeros. Isso significa que, ao expandir essa linha pelo método de Laplace, teremos menos termos para calcular. O método de Laplace nos permite calcular o determinante expandindo por uma linha ou coluna e multiplicando cada elemento por seu cofator correspondente.

Passo 5

Vamos lembrar como funciona o cofator. Para cada elemento Cij = (-1)^i+j times determinante da matriz menor na matriz, o cofator é dado por:
Onde a matriz menor é obtida removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz original.

Passo 6

Aplicando isso à segunda linha da matriz M, que é:
0 0 -4 3 2
Os elementos não zero são , e nas posições (2,3), (2,4) e (2,5) respectivamente. Vamos calcular os cofatores para esses elementos.

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
  1. Para C23 = (-1)^2+3 times determinante da matriz menor = -1 times det(M23) :
C24 = (-1)^2+4 times determinante da matriz menor = 1 times det(M24)
  1. Para C25 = (-1)^2+5 times determinante da matriz menor = -1 times det(M25) :
  1. Para :

Passo 8

Agora, precisamos calcular os determinantes das matrizes menores , e . Cada uma delas é uma matriz 4x4 obtida removendo a segunda linha e a coluna correspondente de M.

Passo 9

Depois de calcular esses determinantes menores, multiplicamos cada um pelo seu cofator e somamos os resultados para obter o determinante total de M.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, o determinante da matriz M é -330.

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