Verifique se os vetores abaixo são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).
a) u=(-3,-1,2) e v=(6,2,-4) Resp. LD

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os vetores u=(-3,-1,2) e v=(6,2,-4) são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente dependentes ou independentes. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Ou seja, não existe um número constante que multiplique um vetor para resultar no outro. Caso contrário, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar se os vetores são dependentes, podemos ver se existe um escalar k tal que v = k cdot u. Vamos comparar as componentes dos vetores:
  • Primeira componente: 6 = k cdot (-3)
  • Segunda componente: 2 = k cdot (-1)
  • Terceira componente: -4 = k cdot 2

Passo 4

Vamos resolver para k em cada equação:
  1. 6 = -3k k = -2
  2. 2 = -k k = -2
  3. -4 = 2k k = -2
Vemos que em todas as componentes, o valor de k é o mesmo: k = -2.

Passo 5

Como conseguimos um único valor de k que satisfaz todas as componentes, isso significa que v é igual a -2 vezes u. Ou seja, v = -2 cdot u. Portanto, um vetor é múltiplo do outro.

Resposta

Os vetores u e v são linearmente dependentes (LD).

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