Mostre que se
e
são espaços vetoriais de dimensão finita tais que
e se
então as seguintes condições são equivalentes:
(a)
é sobrejetora.
(a)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois espaços vetoriais de dimensão finita,
e
, com a mesma dimensão, ou seja,
. Também temos uma transformação linear
que vai de
para
, escrita como
. A pergunta quer que a gente mostre que certas condições sobre
são equivalentes, começando com a condição (a) que diz que
é sobrejetora (ou seja, alcança todo elemento de
). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como transformações lineares, dimensões de espaços vetoriais, e as propriedades de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa
ser sobrejetora. Uma transformação linear
é chamada de sobrejetora se, para todo vetor
em
, existe pelo menos um vetor
em
tal que
. Em outras palavras, a imagem de
cobre todo o espaço
.
Passo 3
Agora, sabemos que em espaços vetoriais de dimensão finita, se
, então uma transformação linear
ser sobrejetora está ligada a ser injetora. Vamos explorar essa relação passo a passo.
Passo 4
Primeiro, suponha que
é sobrejetora. Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Fundamental da Transformação Linear), temos:
Como
e
, isso implica que:
Então, o núcleo de
é trivial, ou seja,
. Isso significa que
é injetora.
Passo 5
Agora, vamos assumir que
é injetora, ou seja,
. Novamente, aplicando o Teorema da Dimensão:
Como
, concluímos que:
Portanto, a imagem de
é todo o espaço
, ou seja,
é sobrejetora.
Resposta
Assim, mostramos que a transformação linear
é sobrejetora se e somente se é injetora, dado que
. Portanto, as condições são equivalentes.