Mostre que se U e V são espaços vetoriais de dimensão finita tais que dim U=dim V e se T in L(U, V) então as seguintes condições são equivalentes:
(a) T é sobrejetora.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois espaços vetoriais de dimensão finita, e , com a mesma dimensão, ou seja, . Também temos uma transformação linear que vai de para , escrita como . A pergunta quer que a gente mostre que certas condições sobre são equivalentes, começando com a condição (a) que diz que é sobrejetora (ou seja, alcança todo elemento de ). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como transformações lineares, dimensões de espaços vetoriais, e as propriedades de injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa ser sobrejetora. Uma transformação linear é chamada de sobrejetora se, para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Em outras palavras, a imagem de cobre todo o espaço .

Passo 3

Agora, sabemos que em espaços vetoriais de dimensão finita, se , então uma transformação linear ser sobrejetora está ligada a ser injetora. Vamos explorar essa relação passo a passo.

Passo 4

Primeiro, suponha que dim Im T = dim V é sobrejetora. Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Fundamental da Transformação Linear), temos:
dim ker T = dim U - dim Im T = dim U - dim V = 0
Como e , isso implica que:
Então, o núcleo de é trivial, ou seja, . Isso significa que é injetora.

Passo 5

Agora, vamos assumir que dim Im T = dim U - dim ker T = dim U - 0 = dim U é injetora, ou seja, dim Im T = dim V . Novamente, aplicando o Teorema da Dimensão:
Como , concluímos que:
Portanto, a imagem de é todo o espaço , ou seja, é sobrejetora.

Resposta

Assim, mostramos que a transformação linear é sobrejetora se e somente se é injetora, dado que . Portanto, as condições são equivalentes.

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