Determine o ângulo entre os seguintes pares de vetores :

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores:
Queremos descobrir o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar, que relaciona o ângulo entre dois vetores com suas componentes.

Passo 2

A fórmula do produto escalar é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores e .
  • e são os módulos (ou magnitudes) dos vetores.
  • é o ângulo entre os vetores.
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o produto escalar . Para isso, multiplicamos as componentes correspondentes e somamos:
Note que o vetor não tem componente , então multiplicamos por zero.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os módulos dos vetores e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, vamos substituir na fórmula do produto escalar para encontrar :

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Finalmente, para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .

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