Determine o ângulo entre os seguintes pares de vetores : 3 i+3 j, 2 i+j-2 k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores:
Queremos descobrir o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar, que relaciona o ângulo entre dois vetores com suas componentes.

Passo 2

A fórmula do produto escalar é:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(theta)
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores e .
  • e são os módulos (ou magnitudes) dos vetores.
  • é o ângulo entre os vetores.
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o produto escalar A cdot B = (3)(2) + (3)(1) + (0)(-2) = 6 + 3 + 0 = 9 . Para isso, multiplicamos as componentes correspondentes e somamos:
Note que o vetor não tem componente , então multiplicamos por zero.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os módulos dos vetores |A| = raiz3^2 + 3^2 + 0^2 = raiz9 + 9 + 0 = raiz18 = 3raiz2 e |B| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3 .
Para :
Para :

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, vamos substituir na fórmula do produto escalar para encontrar 9 = (3raiz2)(3) cdot cos(theta) :
9 = 9raiz2 cdot cos(theta)

Passo 6

Resolvendo para cos(theta) = 99raiz2 = 1raiz2 approx 0,7071 :

Passo 7

Finalmente, para encontrar o ângulo theta = arccos(1raiz2) approx 45° , tiramos o arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .

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