Considerando os modos normais de vibração de uma corda de tamanho de 1,0 m. (a) Faça um gráfico com o quarto harmônico, indicando os nós e os ventres. (b) Se a frequência do harmônico fundamental é de 200 Hz, qual é a frequência do quarto harmônico? © Qual deve ser a velocidade das ondas na corda para que a frequência do harmônico fundamental seja de 200 Hz?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre os modos normais de vibração de uma corda que tem 1,0 metro de comprimento. A gente vai precisar entender como funcionam os harmônicos numa corda vibrante, usar algumas fórmulas de frequência e velocidade das ondas. O exercício pede para:
a) Fazer um gráfico do quarto harmônico marcando os nós e os ventres.
b) Calcular a frequência do quarto harmônico sabendo que o harmônico fundamental tem 200 Hz.
c) Encontrar a velocidade das ondas na corda para que o harmônico fundamental seja de 200 Hz.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são nós e ventres. Em uma corda vibrante:
  • : ponto fixo onde a corda não se move.
  • Ventre: ponto de máxima oscilação, onde a amplitude da vibração é maior.
Os harmônicos são as diferentes frequências em que a corda pode vibrar. O harmônico fundamental é a frequência mais baixa, e os harmônicos superiores são múltiplos dessa frequência.

Passo 3

Parte a) Gráfico do Quarto Harmônico

Para desenhar o quarto harmônico, vamos seguir esses passos:
  1. Dividir a corda: O quarto harmônico significa que existem 4 meias ondas na corda.
  2. Localizar os nós: Além das extremidades fixas (nós), teremos nós intermediários. No quarto harmônico, teremos 3 nós adicionais.
  3. Identificar os ventres: Os ventres ficam entre os nós, onde a corda vibra com máxima amplitude.
Então, no gráfico:
  • Acorda de 1,0 m será dividida em 4 meias ondas, ou seja, 8 segmentos de 12,5 cm cada.
  • Marque os nós nos pontos onde não há movimento (início, final e pontos intermediários).
  • Entre cada par de nós, desenhe os ventres onde a corda tem a maior oscilação.
Como estamos em texto, imagine uma corda horizontal dividida em 4 partes iguais com pontos fixos (nós) e ondulações no meio (ventres).

Passo 4

Parte b) Frequência do Quarto Harmônico

Sabemos que a frequência dos harmônicos é múltiplo da frequência fundamental. A fórmula geral para a frequência do n-ésimo harmônico é:
fn = n cdot f1
Onde:
  • f4 = 4 cdot f1 = 4 cdot 200 , Hz = 800 , Hz é a frequência do n-ésimo harmônico.
  • é o número do harmônico.
  • é a frequência fundamental.
Para o quarto harmônico ( ):
Portanto, a frequência do quarto harmônico é 800 Hz.

Passo 5

Parte c) Velocidade das Ondas na Corda

A relação entre a velocidade da onda ( v = f cdot lambda ), frequência ( lambda1 = 2 cdot L = 2 cdot 1,0 , m = 2,0 , m ) e comprimento de onda ( v = f1 cdot lambda1 = 200 , Hz cdot 2,0 , m = 400 , m/s ) é dada por:
No caso do harmônico fundamental ( ), o comprimento de onda é duas vezes o comprimento da corda:
Agora, usando a fórmula da velocidade:
Então, a velocidade das ondas na corda deve ser 400 m/s para que a frequência fundamental seja 200 Hz.

Resposta

a) O quarto harmônico tem 4 meias ondas, com 3 nós adicionais além das extremidades, e ventres entre eles.
b) A frequência do quarto harmônico é 800 Hz.
c) A velocidade das ondas na corda deve ser 400 m/s.

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