Encontre a intensidade ( ) de uma onda estacionária em uma corda, sabendo que ela é definida como a média no tempo da potência instantânea em um ponto na corda
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a intensidade ( ) de uma onda estacionária numa corda. Para isso, vamos usar o conceito de potência instantânea em um ponto da corda, dada pela fórmula:
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Aqui, é a tensão na corda, é o deslocamento da corda, e e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Vamos precisar entender como calcular essas derivadas e depois tirar a média no tempo para achar a intensidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expressão de uma onda estacionária. Uma forma comum de escrever é:
Aqui, é a amplitude da onda, é o número de onda, e é a frequência angular.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Começando com a derivada de em relação a :
E a derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos substituir essas derivadas na fórmula da potência instantânea:
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Simplificando os sinais:
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Passo 5

Para encontrar a intensidade, precisamos tirar a média temporal dessa potência. Sabemos que a média de ao longo do tempo é zero. Porém, para uma onda estacionária, a potência média é constante e pode ser relacionada com a energia da onda.
Usando identidades trigonométricas, podemos reescrever o produto de cosseno e seno:
E:
Substituindo de volta:
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Passo 6

Agora, tiramos a média temporal. A média de ao longo do tempo é zero, o que sugere que a potência média tamb��m seria zero. Mas, na verdade, para ondas estacionárias, consideramos a potência transportada nas cordas em ambas as direções, o que leva a uma potência média não nula.
Para ondas senoidais, a potência média é dada por:
Essa expressão representa a intensidade da onda estacionária na corda.

Resposta

A intensidade ( ) da onda estacionária na corda é:

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