Encontre a intensidade (
) de uma onda estacionária em uma corda, sabendo que ela é definida como a média no tempo da potência instantânea em um ponto na corda
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a intensidade (
) de uma onda estacionária numa corda. Para isso, vamos usar o conceito de potência instantânea em um ponto da corda, dada pela fórmula:
Aqui,
é a tensão na corda,
é o deslocamento da corda, e
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Vamos precisar entender como calcular essas derivadas e depois tirar a média no tempo para achar a intensidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a expressão de uma onda estacionária. Uma forma comum de escrever é:
Aqui,
é a amplitude da onda,
é o número de onda, e
é a frequência angular.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Começando com a derivada de
em relação a
:
E a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir essas derivadas na fórmula da potência instantânea:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Para encontrar a intensidade, precisamos tirar a média temporal dessa potência. Sabemos que a média de
ao longo do tempo é zero. Porém, para uma onda estacionária, a potência média é constante e pode ser relacionada com a energia da onda.
Usando identidades trigonométricas, podemos reescrever o produto de cosseno e seno:
E:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, tiramos a média temporal. A média de
ao longo do tempo é zero, o que sugere que a potência média tamb��m seria zero. Mas, na verdade, para ondas estacionárias, consideramos a potência transportada nas cordas em ambas as direções, o que leva a uma potência média não nula.
Para ondas senoidais, a potência média é dada por:
Essa expressão representa a intensidade da onda estacionária na corda.
Resposta
A intensidade (
) da onda estacionária na corda é: