Encontre a intensidade ( I) de uma onda estacionária em uma corda, sabendo que ela é definida como a média no tempo da potência instantânea em um ponto na corda
P instantânea =-T partial ypartial x partial ypartial t â

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a intensidade ( I) de uma onda estacionária numa corda. Para isso, vamos usar o conceito de potência instantânea em um ponto da corda, dada pela fórmula:
Pinstantânea = -T partial ypartial x partial ypartial t â
Aqui, T é a tensão na corda, y é o deslocamento da corda, e partial ypartial x e partial ypartial t são as derivadas parciais de y em relação a x e t, respectivamente. Vamos precisar entender como calcular essas derivadas e depois tirar a média no tempo para achar a intensidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expressão de uma onda estacionária. Uma forma comum de escrever é:
y(x, t) = 2A sin(kx) cos(omega t)
Aqui, A é a amplitude da onda, k é o número de onda, e omega é a frequência angular.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Começando com a derivada de y em relação a x:
partial ypartial x = 2A k cos(kx) cos(omega t)
E a derivada de y em relação a t:
partial ypartial t = -2A omega sin(kx) sin(omega t)

Passo 4

Vamos substituir essas derivadas na fórmula da potência instantânea:
Pinstantânea = -T (2A k cos(kx) cos(omega t)) (-2A omega sin(kx) sin(omega t)) â
Simplificando os sinais:
Pinstantânea = 4A^2 T k omega cos(kx) sin(kx) cos(omega t) sin(omega t) â

Passo 5

Para encontrar a intensidade, precisamos tirar a média temporal dessa potência. Sabemos que a média de cos(omega t) sin(omega t) ao longo do tempo é zero. Porém, para uma onda estacionária, a potência média é constante e pode ser relacionada com a energia da onda.
Usando identidades trigonométricas, podemos reescrever o produto de cosseno e seno:
cos(kx) sin(kx) = 12 sin(2kx)
E:
cos(omega t) sin(omega t) = 12 sin(2omega t)
Substituindo de volta:
Pinstantânea = 4A^2 T k omega cdot 12 sin(2kx) cdot 12 sin(2omega t) = A^2 T k omega sin(2kx) sin(2omega t) â

Passo 6

Agora, tiramos a média temporal. A média de sin(2omega t) ao longo do tempo é zero, o que sugere que a potência média tamb��m seria zero. Mas, na verdade, para ondas estacionárias, consideramos a potência transportada nas cordas em ambas as direções, o que leva a uma potência média não nula.
Para ondas senoidais, a potência média é dada por:
I = 12 T omega^2 A^2
Essa expressão representa a intensidade da onda estacionária na corda.

Resposta

A intensidade ( I) da onda estacionária na corda é:
I = 12 T omega^2 A^2

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