Deduza a expressão para a variação da entropia de um gás ideal que evolui de um dado estado inicial i para um estado final em termos dos volumes e das temperaturas e . ( 3,0 pontos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para deduzir a variação da entropia ( ) de um gás ideal quando ele passa de um estado inicial para um estado final . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre termodinâmica, especificamente sobre entropia e gás ideal, além de usar algumas fórmulas básicas dessas áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a equação de estado é dada por:
onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é a quantidade de matéria,
  • é a constante dos gases,
  • é a temperatura.

Passo 3

Agora, sobre entropia. A entropia ( ) é uma grandeza termodinâmica que mede a desordem ou a quantidade de informação de um sistema. A variação de entropia ( ) durante uma transformação reversível pode ser calculada pela integral:
onde é o calor trocado de forma reversível e é a temperatura.

Passo 4

Para um processo que envolve variação de temperatura e volume em um gás ideal, podemos dividir a variação de entropia em duas partes: uma relacionada à variação de temperatura e outra à variação de volume. Assim:
onde:
  • é a capacidade calorífica a volume constante,
  • e são as temperaturas inicial e final,
  • e são os volumes inicial e final.

Passo 5

Essa fórmula vem do fato de que, para um gás ideal, a entropia depende apenas das variáveis de estado e . A primeira parte corresponde à variação de entropia devido à mudança de temperatura, enquanto a segunda parte corresponde à variação de entropia devido à mudança de volume.

Resposta

A variação da entropia do gás ideal é dada por:

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