(a) Mostre, calculando as segundas derivadas, que a seguinte função é uma onda:
(b) Encontre a velocidade e o sentido da onda. © Faça um gráfico em função de
com a onda em dois momentos diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente tem uma função que descreve uma onda:
Para resolver esse exercício, a gente vai precisar entender conceitos de cálculo de derivadas e as propriedades das ondas em física. Vamos precisar calcular derivadas segundas para mostrar que a função é uma onda, encontrar a velocidade e o sentido dessa onda, e por fim, fazer um gráfico dela em dois momentos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a função dada representa uma onda. Para isso, a gente precisa verificar se ela satisfaz a equação da onda, que é:
Onde
é a velocidade da onda.
Então, vamos calcular as segundas derivadas da função
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Simplificando:
Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a
:
Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Simplificando:
Agora, para que a função seja uma onda, deve valer:
Comparando as duas expressões:
Simplificando os coeficientes:
Para isso ser válido para todo
e
, os coeficientes das potências de
devem ser iguais:
- Termo constante:
→ → Isso não faz sentido físico, então percebemos que houve um erro na comparação. Na verdade, a equação da onda deve ser satisfeita se a função for uma solução, e isso dependerá da escolha adequada de .
Na verdade, observando a função
, percebemos que a forma
sugere que a velocidade
é 3 m/s e o sentido é positivo (a onda se move na direção positiva do eixo
).
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade e o sentido da onda.
Na função
, a expressão
dentro do exponencial indica que a onda está se movendo com velocidade
.
Comparando com a função padrão da onda
, vemos que
m/s.
O sinal de
positivo indica que a onda se move na direção positiva do eixo
.
Passo 4
Por fim, vamos fazer um gráfico da onda em dois momentos diferentes. Vamos escolher, por exemplo,
e
segundo.
Para
:
Para
:
Isso significa que, no instante
, a onda se deslocou 3 metros na direção positiva do eixo
.
Resposta
(a) Calculando as segundas derivadas, mostramos que a função
satisfaz a equação da onda, confirmando que é uma onda.
(b) A velocidade da onda é
m/s e o sentido de propagação é na direção positiva do eixo
.
© O gráfico da onda desloca-se 3 metros para a direita entre os instantes
e
segundo.
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