Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a equação e queremos ver se ela funciona quando é um número natural ( ). Para isso, vamos usar propriedades básicas da álgebra, como a diferença de quadrados, e verificar se a equação é válida para alguns valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos testar com um valor simples de . Vamos escolher .
Calculando o lado esquerdo da equação:
Agora, o lado direito:
Como , a equação funciona para .

Passo 3

Vamos tentar outro valor para ter mais confiança. Vamos escolher .
Lado esquerdo:
Lado direito:
De novo, , então a equação também funciona para .

Passo 4

Agora, para ter certeza de que a equação sempre funciona, vamos lembrar da propriedade da diferença de quadrados. Sabemos que:
No nosso caso, , então:
Isso mostra que a equação é uma identidade algébrica válida para quaisquer números, incluindo os naturais.

Resposta

A proposição é verdadeira para todos os números naturais . Por exemplo, para :

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Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
c)
Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições compostas:
d) e
Em cada caso, decida se é condição necessária e/ou suficiente para :
b)
e
Tomando como o universo de discurso, transcreva cada proposição quantificada a seguir para linguagem natural e decida seu valor lógico.
c)