Considerando
como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a equação
e queremos ver se ela funciona quando
é um número natural (
). Para isso, vamos usar propriedades básicas da álgebra, como a diferença de quadrados, e verificar se a equação é válida para alguns valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos testar com um valor simples de
. Vamos escolher
.
Calculando o lado esquerdo da equação:
Agora, o lado direito:
Como
, a equação funciona para
.
Passo 3
Vamos tentar outro valor para ter mais confiança. Vamos escolher
.
Lado esquerdo:
Lado direito:
De novo,
, então a equação também funciona para
.
Passo 4
Agora, para ter certeza de que a equação sempre funciona, vamos lembrar da propriedade da diferença de quadrados. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Isso mostra que a equação é uma identidade algébrica válida para quaisquer números, incluindo os naturais.
Resposta
A proposição
é verdadeira para todos os números naturais
. Por exemplo, para
:
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Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
c)
c)
Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições compostas:
d) e
d)
Em cada caso, decida se
é condição necessária e/ou suficiente para
:
b)
e
b)
Tomando
como o universo de discurso, transcreva cada proposição quantificada a seguir para linguagem natural e decida seu valor lógico.
c)
c)