Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
c) ((p -> q) ∧ ¬p) -> ¬q

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O enunciado fala sobre tautologias em lógica proposicional e pede para determinar se a proposição ((p -> q) ∧ ¬p) -> ¬q é sempre verdadeira, ou seja, se é uma tautologia. Para resolver isso, vamos montar uma tabela verdade para analisar todas as possibilidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos listar todas as combinações possíveis de valores verdade para as proposições p e q. Como cada uma pode ser verdadeira (V) ou falsa (F), temos quatro casos:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

Passo 3

Agora, vamos calcular cada parte da proposição para cada caso:
  1. Implicaçãp ( p -> q): Essa expressão é falsa apenas quando p é verdadeiro e q é falso; caso contrário, é verdadeira.
  2. Negação de p ( ): Simplesmente troca o valor de p.
  3. Conjunção (( ): É verdadeira se ambas as partes forem verdadeiras.
  4. Implicaçãp completa ( ((p -> q) ∧ ¬p) -> ¬q): Novamente, essa implicação é falsa apenas quando a primeira parte é verdadeira e a segunda é falsa.
Vamos preencher a tabela:
p q p -> q ((p -> q) ∧ ¬p) -> ¬q
V V V F F F V
V F F F F V V
F V V V V F F
F F V V V V V

Resposta

Como existe uma situação em que a proposição ((p -> q) ∧ ¬p) -> ¬q é falsa (quando p é falso e q é verdadeiro), ela não é uma tautologia.

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