Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
d)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que analisar a proposição onde pertence ao conjunto dos números naturais, . Para resolver isso, vamos precisar entender como a raiz quadrada e o quadrado de um número funcionam, especialmente dentro dos números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante: é igual ao valor absoluto de , ou seja, . O valor absoluto de um número é sempre positivo ou zero.

Passo 3

Como estamos trabalhando com números naturais, é sempre um número inteiro positivo ou zero. Isso significa que o valor absoluto de é simplesmente mesmo, já que não pode ser negativo.

Passo 4

Portanto, substituindo na nossa proposição, temos . Isso confirma que a igualdade é verdadeira para todo em .

Resposta

Por exemplo, se , então , que é igual a . Assim, a proposição é verdadeira para todos os números naturais.

Exercícios relacionados

Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
d)
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
I) A equação não tem solução formada por primos.
Transcreva as seguintes proposições quantificadas para linguagem simbólica:
a) Existe um número natural tal que .
Em cada caso, decida se é condição necessária e/ou suficiente para :
e)
é par.