Considerando
como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
d)
d)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que analisar a proposição
onde
pertence ao conjunto dos números naturais,
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a raiz quadrada e o quadrado de um número funcionam, especialmente dentro dos números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante:
é igual ao valor absoluto de
, ou seja,
. O valor absoluto de um número é sempre positivo ou zero.
Passo 3
Como estamos trabalhando com números naturais,
é sempre um número inteiro positivo ou zero. Isso significa que o valor absoluto de
é simplesmente
mesmo, já que
não pode ser negativo.
Passo 4
Portanto, substituindo na nossa proposição, temos
. Isso confirma que a igualdade
é verdadeira para todo
em
.
Resposta
Por exemplo, se
, então
, que é igual a
. Assim, a proposição
é verdadeira para todos os números naturais.
Exercícios relacionados
Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
d)
d)
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
I) A equação não tem solução formada por
primos.
I) A equação
Transcreva as seguintes proposições quantificadas para linguagem simbólica:
a) Existe um número natural tal que
.
a) Existe um número natural
Em cada caso, decida se
é condição necessária e/ou suficiente para
:
e)
é par.
e)