Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
I) A equação
não tem solução formada por
primos.
I) A equação
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação
não tem solução onde
e
são números primos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números primos e propriedades de números pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, observe que 447 é um número ímpar. Quando somamos dois quadrados, temos as seguintes possibilidades:
- Par + Par = Par
- Ímpar + Ímpar = Par
- Par + Ímpar = Ímpar
Como 447 é ímpar, a única forma de obter uma soma ímpar é combinando um número par com um número ímpar.
Passo 3
Sabemos que o único número primo par é o 2. Então, sem perder generalidade, podemos assumir que um dos números
ou
é 2.
Vamos supor que
. Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se existe algum número primo
tal que
.
Calculando a raiz quadrada de 443:
Como 21² = 441 e 22² = 484, vemos que 443 não é um quadrado perfeito. Portanto, não existe um número inteiro
que satisfaça
.
Resposta
Não existem números primos
e
que satisfaçam a equação
.
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Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
g) Se , então
ou
.
g) Se
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c) O número é irracional.
c) O número
Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
d)
d)
Considerando
como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
d)
d)