Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
I) A equação não tem solução formada por primos.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação não tem solução onde e são números primos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números primos e propriedades de números pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, observe que 447 é um número ímpar. Quando somamos dois quadrados, temos as seguintes possibilidades:
  1. Par + Par = Par
  2. Ímpar + Ímpar = Par
  3. Par + Ímpar = Ímpar
Como 447 é ímpar, a única forma de obter uma soma ímpar é combinando um número par com um número ímpar.

Passo 3

Sabemos que o único número primo par é o 2. Então, sem perder generalidade, podemos assumir que um dos números ou é 2.
Vamos supor que . Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se existe algum número primo tal que .
Calculando a raiz quadrada de 443:
Como 21² = 441 e 22² = 484, vemos que 443 não é um quadrado perfeito. Portanto, não existe um número inteiro que satisfaça .

Resposta

Não existem números primos e que satisfaçam a equação .

Exercícios relacionados

Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
g) Se , então ou .
Os teoremas a seguir ficam artificiais quando escritos como condicionais. Em cada caso, descreva em linhas gerais o que seria preciso fazer para demonstrá-los.
c) O número é irracional.
Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
d)
Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
d)