Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
d)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para determinar se a proposição é uma tautologia. Aqui, estamos trabalhando com lógica proposicional, especificamente com implicações e negações. Para resolver isso, vamos analisar todas as possibilidades de verdade para as variáveis e usando uma tabela verdade.

Passo 2

Primeiro, vamos criar uma tabela verdade com todas as combinações possíveis de e . Como cada uma pode ser verdadeira (V) ou falsa (F), temos quatro combinações:
V V V F F F V
V F F V F F V
F V V F F V V
F F V V V V V

Passo 3

Vamos preencher a tabela passo a passo:
  1. : A implicação é falsa somente quando é V e é F; caso contrário, é V.
  2. : É a negação de .
  3. : É V somente quando ambas as condições são verdadeiras.
  4. : É a negação de .
  5. : Novamente, a implicação é falsa somente quando o antecedente é V e o consequente é F.

Resposta

Como em todas as linhas da tabela verdade a proposição resulta em Verdadeiro, podemos concluir que a proposição é uma tautologia.

Exercícios relacionados

Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
I) A equação não tem solução formada por primos.
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
g) Se , então ou .
Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
d)
Transcreva as seguintes proposições quantificadas para linguagem simbólica:
a) Existe um número natural tal que .