Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso N determine sua negação.
c) ∃n ∀m (m + n > m)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Escrever a proposição dada em linguagem natural.
  2. Decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa no universo dos números naturais, que é representado por N.
  3. Encontrar a negação dessa proposição.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a proposição para uma linguagem mais simples:
significa “Existe um número natural n tal que, para todo número natural m, a soma de m com n é maior que m.”

Passo 3

Agora, vamos pensar se isso é verdade nos números naturais. Você sabe que, se você adicionar qualquer número natural n a outro número natural m, a soma sempre será maior que m, porque estamos somando um número positivo. Por exemplo, se e , então , que é maior que 3.
Então, como não importa qual número natural n você escolher, sempre vai dar para encontrar que , isso significa que a proposição é verdadeira no universo dos números naturais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a negação dessa proposição. A negação de será . Em palavras, isso significa “Para todo número natural n, existe um número natural m tal que a soma de m com n é menor ou igual a m.”

Passo 5

Vamos analisar a negação. Se pensarmos bem, não existe nenhum número natural n que, quando somado a outro número natural m, faça com que seja menor ou igual a m. Isso nunca acontece nos números naturais, então a negação é falsa.

Resposta

A proposição é verdadeira em N e sua negação é “Para todo número natural n, existe um número natural m tal que .”

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