Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso determine sua negação.
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Escrever a proposição dada em linguagem natural.
  2. Decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa no universo dos números naturais, que é representado por .
  3. Encontrar a negação dessa proposição.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a proposição para uma linguagem mais simples:
significa “Existe um número natural tal que, para todo número natural , a soma de com é maior que .”

Passo 3

Agora, vamos pensar se isso é verdade nos números naturais. Você sabe que, se você adicionar qualquer número natural a outro número natural , a soma sempre será maior que , porque estamos somando um número positivo. Por exemplo, se e , então , que é maior que 3.
Então, como não importa qual número natural você escolher, sempre vai dar para encontrar que , isso significa que a proposição é verdadeira no universo dos números naturais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a negação dessa proposição. A negação de será . Em palavras, isso significa “Para todo número natural , existe um número natural tal que a soma de com é menor ou igual a .”

Passo 5

Vamos analisar a negação. Se pensarmos bem, não existe nenhum número natural que, quando somado a outro número natural , faça com que seja menor ou igual a . Isso nunca acontece nos números naturais, então a negação é falsa.

Resposta

A proposição é verdadeira em e sua negação é “Para todo número natural , existe um número natural tal que .”

Exercícios relacionados

Classifique cada uma das proposições a seguir em universal ou particular e, em seguida, determine sua negação em uma forma que não contenha :
i)
Classifique cada uma das proposições a seguir em universal ou particular e, em seguida, determine sua negação em uma forma que não contenha :
g)
Mostre que uma implicação é logicamente equivalente a sua contrapositiva. Ou seja, mostre que .
Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
e)