Mostre que uma implicação é logicamente equivalente a sua contrapositiva. Ou seja, mostre que p -> q = ¬q -> ¬p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de lógica que pede para mostrar que uma implicação é logicamente equivalente à sua contrapositiva. Ou seja, precisamos provar que p -> q é igual a . Para resolver isso, vamos usar tabelas verdade para comparar as duas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada parte:
  • p -> q: Isso é uma implicação que lê "se p, então q".
  • : Essa é a contrapositiva da implicação acima, que lê "se não q, então não p".
A ideia é mostrar que essas duas expressões sempre têm os mesmos valores de verdade, independente dos valores de p e q.

Passo 3

Vamos montar uma tabela verdade para todas as combinações possíveis de p e q, e calcular os valores de p -> q e .
p q p -> q
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V

Passo 4

Agora, vamos comparar as colunas de p -> q e :
  • Quando p e q são ambos verdadeiros, ambas as implicações são verdadeiras.
  • Quando p é verdadeiro e q é falso, ambas as implicações são falsas.
  • Quando p é falso e q é verdadeiro, ambas as implicações são verdadeiras.
  • Quando p e q são ambos falsos, ambas as implicações são verdadeiras.

Resposta

Como as colunas de p -> q e são iguais em todos os casos, mostramos que p -> q é logicamente equivalente a .

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