Mostre que uma implicação é logicamente equivalente a sua contrapositiva. Ou seja, mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de lógica que pede para mostrar que uma implicação é logicamente equivalente à sua contrapositiva. Ou seja, precisamos provar que é igual a . Para resolver isso, vamos usar tabelas verdade para comparar as duas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada parte:
  • : Isso é uma implicação que lê "se , então ".
  • : Essa é a contrapositiva da implicação acima, que lê "se não , então não ".
A ideia é mostrar que essas duas expressões sempre têm os mesmos valores de verdade, independente dos valores de e .

Passo 3

Vamos montar uma tabela verdade para todas as combinações possíveis de e , e calcular os valores de e .
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V

Passo 4

Agora, vamos comparar as colunas de e :
  • Quando e são ambos verdadeiros, ambas as implicações são verdadeiras.
  • Quando é verdadeiro e é falso, ambas as implicações são falsas.
  • Quando é falso e é verdadeiro, ambas as implicações são verdadeiras.
  • Quando e são ambos falsos, ambas as implicações são verdadeiras.

Resposta

Como as colunas de e são iguais em todos os casos, mostramos que é logicamente equivalente a .

Exercícios relacionados

Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso determine sua negação.
c)
Classifique cada uma das proposições a seguir em universal ou particular e, em seguida, determine sua negação em uma forma que não contenha :
i)
Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
e)
Em cada caso, decida se é condição necessária e/ou suficiente para :
a)