Mostre que uma implicação é logicamente equivalente a sua contrapositiva. Ou seja, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de lógica que pede para mostrar que uma implicação é logicamente equivalente à sua contrapositiva. Ou seja, precisamos provar que
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar tabelas verdade para comparar as duas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada parte:
-
: Isso é uma implicação que lê "se , então ". -
: Essa é a contrapositiva da implicação acima, que lê "se não , então não ".
A ideia é mostrar que essas duas expressões sempre têm os mesmos valores de verdade, independente dos valores de
e
.
Passo 3
Vamos montar uma tabela verdade para todas as combinações possíveis de
e
, e calcular os valores de
e
.
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V | V | V | F | F | V |
V | F | F | V | F | F |
F | V | V | F | V | V |
F | F | V | V | V | V |
Passo 4
Agora, vamos comparar as colunas de
e
:
- Quando
e são ambos verdadeiros, ambas as implicações são verdadeiras. - Quando
é verdadeiro e é falso, ambas as implicações são falsas. - Quando
é falso e é verdadeiro, ambas as implicações são verdadeiras. - Quando
e são ambos falsos, ambas as implicações são verdadeiras.
Resposta
Como as colunas de
e
são iguais em todos os casos, mostramos que
é logicamente equivalente a
.